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Python
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#!/usr/bin/env python3
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# Runden_Gegenbeispiel.py
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"""
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Kapitel MILP: Wie schlecht ist Runden wirklich?
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Ersetzt die unbelegte Behauptung "20-50 % Verlust" durch eine Messung ueber
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viele Zufallsinstanzen.
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"""
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import numpy as np
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from scipy.optimize import linprog
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def erzeuge_instanz(n, m, rng):
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"""Zufaelliges Rucksack-aehnliches MILP mit kleinen Zahlen."""
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c = rng.integers(3, 20, size=n).astype(float) # Ertraege
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A = rng.integers(1, 9, size=(m, n)).astype(float) # Verbraeuche
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b = (A.sum(axis=1) * rng.uniform(0.25, 0.45)).round() # knappe Kapazitaeten
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return c, A, b
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def loese_lp(c, A, b, ganzzahlig=False):
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"""LP-Relaxation oder exaktes MILP ueber HiGHS."""
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n = len(c)
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ergebnis = linprog(
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c=-c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[(0, None)] * n,
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integrality=np.ones(n) if ganzzahlig else None,
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method="highs")
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return (-ergebnis.fun, ergebnis.x) if ergebnis.success else (None, None)
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def abrunden_und_reparieren(x_lp, c, A, b):
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"""Naive Strategie: abrunden, dann gierig auffuellen, solange zulaessig."""
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x = np.floor(x_lp + 1e-9)
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verbessert = True
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while verbessert: # gierig auffuellen
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verbessert = False
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for j in np.argsort(-c): # bester Ertrag zuerst
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kandidat = x.copy()
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kandidat[j] += 1
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if np.all(A @ kandidat <= b + 1e-9):
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x = kandidat
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verbessert = True
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break
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return c @ x, x
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if __name__ == "__main__":
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rng = np.random.default_rng(2026)
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print("=" * 82)
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print(" WIE TEUER IST RUNDEN? (200 Zufallsinstanzen je Groesse)")
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print("=" * 82)
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print(f"{'n x m':>8} | {'Aufrunden unzul.':>17} | {'Abrunden: mittl.':>17} | "
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f"{'schlimmster':>12} | {'gierig':>8}")
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print(f"{'':>8} | {'':>17} | {'Verlust':>17} | {'Fall':>12} | {'Verlust':>8}")
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print("-" * 82)
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for n, m in [(5, 2), (10, 3), (20, 5), (40, 8)]:
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unzulaessig = 0
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verluste_ab, verluste_gierig = [], []
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for _ in range(200):
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c, A, b = erzeuge_instanz(n, m, rng)
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z_lp, x_lp = loese_lp(c, A, b, ganzzahlig=False)
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z_ip, _ = loese_lp(c, A, b, ganzzahlig=True)
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if z_lp is None or z_ip is None or z_ip <= 0:
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continue
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# Variante 1: aufrunden
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x_auf = np.ceil(x_lp - 1e-9)
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if np.any(A @ x_auf > b + 1e-9):
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unzulaessig += 1
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# Variante 2: abrunden
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x_ab = np.floor(x_lp + 1e-9)
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verluste_ab.append(1.0 - (c @ x_ab) / z_ip)
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# Variante 3: abrunden + gierig auffuellen
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z_gierig, _ = abrunden_und_reparieren(x_lp, c, A, b)
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verluste_gierig.append(1.0 - z_gierig / z_ip)
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print(f"{n:>3} x {m:<3} | {unzulaessig/2:>15.1f} % | "
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f"{np.mean(verluste_ab)*100:>15.1f} % | "
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f"{np.max(verluste_ab)*100:>10.1f} % | "
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f"{np.mean(verluste_gierig)*100:>6.1f} %")
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print("-" * 82)
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print("Lesart: 'Aufrunden unzul.' = Anteil der Faelle, in denen die aufgerundete")
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print("Loesung eine Nebenbedingung verletzt. 'Verlust' = Abstand zum exakten Optimum.")
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print("=" * 82)
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