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Python
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#!/usr/bin/env python3
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# Konvexitaet_Demo.py
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Kapitel Fundament: Konvexität praktisch erfahrbar machen.
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Teil 1: Die Sehnen-Bedingung numerisch nachprüfen.
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Teil 2: Zeigen, warum lokale Suche bei nicht-konvexen Funktionen scheitert.
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import numpy as np
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from scipy.optimize import minimize
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# --- Teil 1: Sehnen-Test ---------------------------------------------------
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def ist_konvex_numerisch(f, unten, oben, proben=2000, seed=0):
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Prüft die Konvexitätsdefinition an zufälligen Punktepaaren:
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f(theta*x + (1-theta)*y) <= theta*f(x) + (1-theta)*f(y) ?
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Findet Gegenbeispiele - beweist aber KEINE Konvexität.
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"""
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rng = np.random.default_rng(seed)
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schlimmste_verletzung = 0.0
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for _ in range(proben):
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x, y = rng.uniform(unten, oben, size=2)
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theta = rng.uniform(0.0, 1.0)
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links = f(theta * x + (1 - theta) * y)
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rechts = theta * f(x) + (1 - theta) * f(y)
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schlimmste_verletzung = max(schlimmste_verletzung, links - rechts)
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return schlimmste_verletzung
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funktionen = {
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"f(x) = x^2 (konvex)": lambda x: x ** 2,
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"f(x) = |x| (konvex)": lambda x: abs(x),
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"f(x) = e^x (konvex)": lambda x: np.exp(x),
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"f(x) = x^3 (NICHT konvex)": lambda x: x ** 3,
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"f(x) = x^2+3sin(3x) (NICHT konvex)": lambda x: x ** 2 + 3 * np.sin(3 * x),
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}
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print("=" * 68)
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print(" TEIL 1: SEHNEN-TEST (positive Zahl = Konvexität verletzt)")
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print("=" * 68)
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for name, f in funktionen.items():
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verletzung = ist_konvex_numerisch(f, -3.0, 3.0)
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urteil = "konvex (keine Verletzung gefunden)" if verletzung < 1e-9 \
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else f"NICHT konvex (Verletzung bis {verletzung:.3f})"
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print(f"{name:<34} -> {urteil}")
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# --- Teil 2: Lokale Suche von verschiedenen Startpunkten -------------------
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def wellige_funktion(x):
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"""Nicht-konvex: eine Parabel mit aufmodulierter Welle -> viele lokale Minima."""
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return x[0] ** 2 + 3.0 * np.sin(3.0 * x[0])
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print("\n" + "=" * 68)
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print(" TEIL 2: LOKALE SUCHE BEI NICHT-KONVEXER FUNKTION")
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print("=" * 68)
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print(f"{'Startpunkt':>12} | {'gefundenes Minimum':>20} | {'Funktionswert':>14}")
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print("-" * 68)
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ergebnisse = []
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for start in [-3.0, -1.5, 0.0, 1.5, 3.0]:
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res = minimize(wellige_funktion, x0=[start], method="BFGS")
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ergebnisse.append((start, res.x[0], res.fun))
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print(f"{start:>12.1f} | {res.x[0]:>20.4f} | {res.fun:>14.4f}")
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bester = min(ergebnisse, key=lambda t: t[2])
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print("-" * 68)
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print(f"Je nach Startpunkt landet derselbe Algorithmus in "
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f"{len({round(e[1], 3) for e in ergebnisse})} verschiedenen Minima.")
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print(f"Das beste gefundene: x = {bester[1]:.4f} mit f = {bester[2]:.4f} "
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f"(Start bei {bester[0]:.1f})")
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print("Bei einer KONVEXEN Funktion waeren alle Zeilen identisch --")
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print("der Startpunkt waere voellig gleichgueltig.")
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print("=" * 68)
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