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Python
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#!/usr/bin/env python3
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# Rucksack.py
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Kapitel MILP: Das Rucksackproblem (Knapsack).
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Zeigt LP-Relaxation, Branch-and-Bound-Ergebnis und den Preis der Ganzzahligkeit
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an einem Beispiel, das man vollstaendig im Kopf nachvollziehen kann.
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import numpy as np
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from scipy.optimize import linprog
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GEGENSTAENDE = ["Zelt", "Schlafsack", "Kocher", "Kamera", "Buch", "Wasserfilter", "Seil"]
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NUTZEN = np.array([40.0, 35.0, 20.0, 30.0, 8.0, 25.0, 12.0])
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GEWICHT = np.array([ 6.0, 4.0, 3.0, 2.0, 1.0, 2.0, 3.0])
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KAPAZITAET = 11.0 # kg
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def loese(ganzzahlig: bool):
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n = len(NUTZEN)
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ergebnis = linprog(
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c=-NUTZEN, A_ub=[GEWICHT], b_ub=[KAPAZITAET],
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bounds=[(0, 1)] * n, # jedes Teil hoechstens einmal
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integrality=np.ones(n) if ganzzahlig else None,
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method="highs")
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return -ergebnis.fun, ergebnis.x
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if __name__ == "__main__":
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z_lp, x_lp = loese(ganzzahlig=False)
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z_ip, x_ip = loese(ganzzahlig=True)
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print("=" * 72)
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print(f" RUCKSACKPROBLEM (Kapazitaet {KAPAZITAET:.0f} kg)")
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print("=" * 72)
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print(f"{'Gegenstand':<14} {'Nutzen':>7} {'kg':>5} {'Nutzen/kg':>10} "
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f"{'LP':>7} {'MILP':>6}")
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print("-" * 72)
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for i, name in enumerate(GEGENSTAENDE):
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# int(round(...)) statt Format "%.0f": vermeidet die Ausgabe "-0"
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print(f"{name:<14} {NUTZEN[i]:>7.0f} {GEWICHT[i]:>5.0f} "
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f"{NUTZEN[i]/GEWICHT[i]:>10.2f} {x_lp[i]:>7.2f} {int(round(x_ip[i])):>6d}")
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print("-" * 72)
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print(f"{'Gesamtnutzen':<14} {'':<7} {'':<5} {'':<10} {z_lp:>7.2f} {z_ip:>6.0f}")
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print(f"{'Gesamtgewicht':<14} {'':<7} {'':<5} {'':<10} "
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f"{GEWICHT @ x_lp:>7.2f} {GEWICHT @ x_ip:>6.0f}")
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print("-" * 72)
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print(f"Obere Schranke aus der LP-Relaxation: {z_lp:.2f}")
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print(f"Bestes ganzzahliges Ergebnis: {z_ip:.0f}")
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print(f"Preis der Ganzzahligkeit: {z_lp - z_ip:.2f} "
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f"({(1 - z_ip/z_lp)*100:.1f} %)")
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gebrochen = [GEGENSTAENDE[i] for i in range(len(NUTZEN)) if 1e-6 < x_lp[i] < 1 - 1e-6]
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print(f"\nIn der LP-Loesung nur teilweise eingepackt: {gebrochen}")
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print("Genau hier wuerde Branch-and-Bound verzweigen:")
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print(f" Ast 1: {gebrochen[0]} bleibt ganz zuhause (x=0)")
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print(f" Ast 2: {gebrochen[0]} kommt ganz mit (x=1)")
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print("=" * 72)
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