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Python
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#!/usr/bin/env python3
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# erzeuge_bnb_geometrie.py
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"""
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Erzeugt die geometrische Tafel zum Branch-and-Bound im MILP-Kapitel:
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bilder_04/kap_milp_bnb_geometrie.svg
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ERGAENZT den Suchbaum kap_milp_suchbaum.svg, ersetzt ihn nicht: Der Baum zeigt,
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WELCHE Teilprobleme entstehen. Diese Tafel zeigt, WAS Verzweigen mit dem
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Loesungsraum macht - und warum es erlaubt ist.
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Links das Polyeder der LP-Relaxation mit seinem Optimum (3; 1,5). Rechts
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dasselbe Polyeder, aus dem der Streifen 1 < x2 < 2 herausgeschnitten ist; uebrig
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bleiben die Aeste A (x2 <= 1) und B (x2 >= 2) mit ihren eigenen Optima.
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Der Punkt, auf den es ankommt: In dem herausgeschnittenen Streifen liegt KEIN
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einziger ganzzahliger Punkt - es geht also nichts verloren. Der Streifen
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enthaelt aber das Optimum der Relaxation, und deshalb sinkt die Schranke von 21
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auf 20,67 bzw. 18. Verzweigen heisst, wertlosen Raum wegzuschneiden, bis der
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beste verbleibende Punkt ganzzahlig ist.
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Modell und LP-Loeser stammen aus erzeuge_branch_and_bound.py, damit Baum und
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Geometrie nicht auseinanderlaufen koennen. pruefe_befund() rechnet nach, dass im
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Streifen wirklich kein ganzzahliger Punkt liegt und dass die drei Zielwerte die
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des Baums sind.
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Aufruf (aus dem Repository-Wurzelverzeichnis):
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python3 bilder_04/erzeuge_bnb_geometrie.py
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Benoetigt: numpy, scipy, matplotlib
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"""
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from __future__ import annotations
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import itertools
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import os
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import sys
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import numpy as np
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sys.path.insert(0, os.path.dirname(os.path.abspath(__file__)))
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from stil_04 import FARBEN, speichere # noqa: E402
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import matplotlib.pyplot as plt # noqa: E402
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from erzeuge_branch_and_bound import A, B, C, loese # noqa: E402
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# Die Verzweigung, die der Baum als Erstes vornimmt: x2 <= 1 gegen x2 >= 2.
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GRENZE = 1.0
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# Was der Suchbaum ausweist; nur zum Gegenpruefen.
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SCHRANKEN_IM_BAUM = {"P0": 21.0, "A": 62.0 / 3.0, "B": 18.0}
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def gitter(masche: int = 420):
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x1 = np.linspace(0, 4.6, masche)
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x2 = np.linspace(0, 3.4, masche)
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return np.meshgrid(x1, x2)
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def zulaessig(xx1, xx2, unten=None, oben=None):
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"""Maske des zulaessigen Bereichs, wahlweise mit zusaetzlichen Schranken."""
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maske = np.ones_like(xx1, dtype=bool)
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for zeile, grenze in zip(A, B):
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maske &= (zeile[0] * xx1 + zeile[1] * xx2 <= grenze + 1e-9)
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if unten is not None:
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maske &= (xx2 >= unten - 1e-9)
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if oben is not None:
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maske &= (xx2 <= oben + 1e-9)
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return maske
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def ganzzahlige_punkte():
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"""Alle ganzzahligen zulaessigen Punkte - fuer die Tafel und den Test."""
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punkte = []
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for p1, p2 in itertools.product(range(0, 6), range(0, 5)):
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if np.all(A @ np.array([p1, p2], dtype=float) <= B + 1e-9):
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punkte.append((p1, p2))
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return punkte
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def pruefe_befund(loesungen, punkte) -> None:
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"""Die beiden Aussagen der Tafel muessen stimmen."""
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im_streifen = [p for p in punkte if GRENZE < p[1] < GRENZE + 1]
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if im_streifen:
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raise SystemExit(
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f"B&B-Geometrie: Im herausgeschnittenen Streifen liegen die "
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f"ganzzahligen Punkte {im_streifen}. Dann waere das Verzweigen "
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f"nicht verlustfrei, und die Tafel behauptete etwas Falsches.")
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for name, soll in SCHRANKEN_IM_BAUM.items():
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ist = loesungen[name][1]
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if abs(ist - soll) > 1e-6:
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raise SystemExit(
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f"B&B-Geometrie: {name} hat den Zielwert {ist:.4f}, der "
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f"Suchbaum weist {soll:.4f} aus.")
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def zahl(wert: float) -> str:
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return f"{wert:.2f}".rstrip("0").rstrip(".").replace(".", ",")
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def zeichne(loesungen, punkte) -> None:
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figur, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(10.0, 4.5))
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xx1, xx2 = gitter()
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for achse in achsen:
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for p1, p2 in punkte:
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achse.plot(p1, p2, "o", color=FARBEN["gedaempft"], markersize=4.5,
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zorder=5)
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for zeile, grenze in zip(A, B):
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x = np.linspace(0, 4.6, 100)
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achse.plot(x, (grenze - zeile[0] * x) / zeile[1], "--",
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color=FARBEN["linie"], linewidth=1.1, zorder=3)
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achse.set_xlim(0, 4.6)
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achse.set_ylim(0, 3.4)
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achse.set_xlabel("$x_1$")
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achse.grid(linestyle=":", alpha=0.4)
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achsen[0].set_ylabel("$x_2$")
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# --- links: die Relaxation, ungeschnitten -----------------------------
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achsen[0].contourf(xx1, xx2, zulaessig(xx1, xx2).astype(float),
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levels=[0.5, 1.5], colors=[FARBEN["haupt"]],
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alpha=0.20, zorder=1)
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x_p0, z_p0 = loesungen["P0"]
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achsen[0].plot(*x_p0, "*", color=FARBEN["fehler"], markersize=17, zorder=6)
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achsen[0].annotate(f"LP-Optimum ({zahl(x_p0[0])}; {zahl(x_p0[1])})\n"
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f"Z = {zahl(z_p0)} — nicht ganzzahlig",
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xy=x_p0, xytext=(12, 12), textcoords="offset points",
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fontsize=8.5, color=FARBEN["fehler"],
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fontweight="bold", zorder=7)
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achsen[0].set_title("$P_0$ — die Relaxation", fontsize=10.5,
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color=FARBEN["text"])
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# --- rechts: derselbe Bereich, der Streifen heraus ---------------------
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for name, unten, oben, farbe, beschriftung in (
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("A", None, GRENZE, FARBEN["zweit"], f"Ast A: $x_2 \\leq 1$"),
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("B", GRENZE + 1, None, FARBEN["warnung"],
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f"Ast B: $x_2 \\geq 2$")):
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achsen[1].contourf(xx1, xx2,
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zulaessig(xx1, xx2, unten, oben).astype(float),
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levels=[0.5, 1.5], colors=[farbe], alpha=0.22,
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zorder=1)
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x_ast, z_ast = loesungen[name]
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achsen[1].plot(*x_ast, "*", color=farbe, markersize=15, zorder=6)
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# Ast A liegt an der Schnittkante; sein Text gehoert nach unten in die
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# eigene Flaeche, sonst laeuft er in den Streifen hinein.
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achsen[1].annotate(f"{beschriftung}\nZ = {zahl(z_ast)}",
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xy=x_ast,
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xytext=(-12, -30) if name == "A" else (12, 14),
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textcoords="offset points", fontsize=8.5,
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ha="right" if name == "A" else "left",
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color=farbe, fontweight="bold", zorder=7)
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achsen[1].axhspan(GRENZE, GRENZE + 1, color=FARBEN["fehler"], alpha=0.11,
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zorder=2)
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achsen[1].axhline(GRENZE, color=FARBEN["fehler"], linewidth=1.3, zorder=4)
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achsen[1].axhline(GRENZE + 1, color=FARBEN["fehler"], linewidth=1.3,
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zorder=4)
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achsen[1].text(4.5, GRENZE + 0.5,
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"herausgeschnitten:\n$1 < x_2 < 2$\nkein ganzzahliger "
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"Punkt darin", fontsize=8, color=FARBEN["fehler"],
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ha="right", va="center", zorder=7)
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achsen[1].set_title("nach dem Verzweigen über $x_2$", fontsize=10.5,
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color=FARBEN["text"])
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figur.suptitle(f"Verzweigen schneidet weg, wo kein ganzzahliger Punkt "
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f"liegt — die Schranke sinkt von {zahl(z_p0)} auf "
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f"{zahl(max(loesungen['A'][1], loesungen['B'][1]))}",
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fontsize=10.5, color=FARBEN["text"], y=1.02)
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speichere(figur, "kap_milp_bnb_geometrie")
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if __name__ == "__main__":
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unendlich = float("inf")
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loesungen = {
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"P0": loese([0.0, 0.0], [unendlich, unendlich]),
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"A": loese([0.0, 0.0], [unendlich, GRENZE]),
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"B": loese([0.0, GRENZE + 1], [unendlich, unendlich]),
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}
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punkte = ganzzahlige_punkte()
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for name, (x, z) in loesungen.items():
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print(f" {name:<3} x = ({x[0]:.4f}; {x[1]:.4f}) Z = {z:.4f}")
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print(f" {len(punkte)} ganzzahlige zulässige Punkte")
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pruefe_befund(loesungen, punkte)
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print(" Streifen 1 < x₂ < 2 enthält keinen ganzzahligen Punkt")
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print(" Zielwerte stimmen mit dem Suchbaum überein")
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zeichne(loesungen, punkte)
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