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Python
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#!/usr/bin/env python3
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# Matrixform.py
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Kapitel Fundament: Von der ausgeschriebenen Form zur Matrixform - und zurück.
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Zeigt, dass beide Schreibweisen dasselbe Modell beschreiben.
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import numpy as np
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from scipy.optimize import linprog
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# --- Modell in Matrixform -------------------------------------------------
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# max 3*x1 + 5*x2 u.d.N. x1 <= 4, 2*x2 <= 12, 3*x1 + 2*x2 <= 18, x >= 0
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c = np.array([3.0, 5.0]) # Ertragsvektor (Maximierung)
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A = np.array([[1.0, 0.0], # Zeile 1: nur x1 kommt vor
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[0.0, 2.0], # Zeile 2: nur x2 kommt vor
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[3.0, 2.0]]) # Zeile 3: beide
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b = np.array([4.0, 12.0, 18.0])
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namen = ["Rohstoff A", "Rohstoff B", "Maschinenzeit"]
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# --- Ausgeschriebene Form maschinell erzeugen ------------------------------
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def zeige_ausgeschrieben(c, A, b, namen):
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"""Druckt die Matrixform als lesbares Ungleichungssystem."""
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terme = " + ".join(f"{c[j]:g}*x{j+1}" for j in range(len(c)))
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print(f"max {terme}")
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print("u.d.N.")
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for i in range(A.shape[0]):
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summanden = " + ".join(f"{A[i, j]:g}*x{j+1}"
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for j in range(A.shape[1]) if A[i, j] != 0)
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print(f" {summanden:<24} <= {b[i]:>5g} ({namen[i]})")
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print(f" x1, ..., x{len(c)} >= 0")
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zeige_ausgeschrieben(c, A, b, namen)
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# --- Zulässigkeit eines Punktes prüfen ------------------------------------
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def ist_zulaessig(x, A, b, toleranz=1e-9):
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"""Prüft A x <= b und x >= 0 komponentenweise."""
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verbrauch = A @ x # Matrix-Vektor-Produkt: alle Zeilen auf einmal
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return bool(np.all(verbrauch <= b + toleranz) and np.all(x >= -toleranz))
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for kandidat in [np.array([2.0, 6.0]), np.array([4.0, 3.0]), np.array([4.0, 6.0])]:
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zulaessig = ist_zulaessig(kandidat, A, b)
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zielwert = c @ kandidat
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verbrauch = A @ kandidat
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print(f"\nx = {kandidat} -> A x = {verbrauch} "
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f"{'zulaessig' if zulaessig else 'UNZULAESSIG'}, Z = {zielwert:g}")
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# --- Lösen: linprog minimiert, also c negieren -----------------------------
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ergebnis = linprog(c=-c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[(0, None)] * len(c), method="highs")
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print("\n" + "-" * 60)
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print(f"Optimale Loesung: x* = {np.round(ergebnis.x, 4)}")
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print(f"Optimaler Wert: Z* = {-ergebnis.fun:g}")
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print("Hinweis: linprog minimiert, deshalb wurde c negiert und das")
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print(" Ergebnis am Ende wieder mit -1 multipliziert.")
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