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Python
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#!/usr/bin/env python3
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# Renditen_Vergleich.py
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Kapitel Finanzdaten: Diskrete vs. logarithmische Renditen.
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Zeigt an einem simulierten Kursverlauf, welche Eigenschaft wo gilt -
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und warum das arithmetische Mittel diskreter Renditen in die Irre fuehrt.
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import numpy as np
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import pandas as pd
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if __name__ == "__main__":
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kurse = np.array([100.0, 150.0, 100.0, 120.0, 90.0, 135.0])
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tage = [f"t{i}" for i in range(len(kurse))]
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diskret = kurse[1:] / kurse[:-1] - 1.0
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logarithmisch = np.log(kurse[1:] / kurse[:-1])
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print("=" * 74)
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print(" DISKRETE UND LOGARITHMISCHE RENDITEN IM VERGLEICH")
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print("=" * 74)
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tabelle = pd.DataFrame({
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"Periode": [f"{tage[i]} -> {tage[i+1]}" for i in range(len(diskret))],
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"Kurs von": kurse[:-1],
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"Kurs bis": kurse[1:],
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"diskret R": [f"{r*100:+7.2f} %" for r in diskret],
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"log r": [f"{r:+8.4f}" for r in logarithmisch],
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})
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print(tabelle.to_string(index=False))
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# --- Zeitliche Aggregation ------------------------------------------
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gesamt_wahr = kurse[-1] / kurse[0] - 1.0
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summe_log = logarithmisch.sum()
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aus_log_zurueck = np.exp(summe_log) - 1.0
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summe_diskret = diskret.sum()
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print("\n--- Aggregation ueber die Zeit ---")
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print(f" Tatsaechliche Gesamtrendite: {gesamt_wahr*100:+8.2f} %")
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print(f" Summe der Log-Renditen -> exp()-1: {aus_log_zurueck*100:+8.2f} % "
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f"{'KORREKT' if abs(aus_log_zurueck - gesamt_wahr) < 1e-9 else 'falsch'}")
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print(f" Summe der diskreten Renditen: {summe_diskret*100:+8.2f} % FALSCH")
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# --- Mittelwerte ------------------------------------------------------
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arithmetisch = diskret.mean()
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geometrisch = np.prod(1 + diskret) ** (1 / len(diskret)) - 1
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aus_log = np.exp(logarithmisch.mean()) - 1
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print("\n--- Welcher Mittelwert ist der richtige? ---")
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print(f" Arithmetisches Mittel (diskret): {arithmetisch*100:+8.2f} % "
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f"-> ueberschaetzt")
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print(f" Geometrisches Mittel: {geometrisch*100:+8.2f} % -> korrekt")
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print(f" exp(Mittel der Log-Renditen) - 1: {aus_log*100:+8.2f} % "
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f"-> identisch zum geometrischen")
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# Probe: Endkapital mit dem jeweiligen Mittelwert hochgerechnet
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n = len(diskret)
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print(f"\n Probe - Startkapital 100 EUR ueber {n} Perioden:")
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print(f" tatsaechlich: {kurse[-1]:8.2f} EUR")
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print(f" mit arithm. Mittel hochgerechnet: {100*(1+arithmetisch)**n:8.2f} EUR")
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print(f" mit geom. Mittel hochgerechnet: {100*(1+geometrisch)**n:8.2f} EUR")
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print("\n--- Annualisierung (252 Handelstage) ---")
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print(f" Volatilitaet aus Log-Renditen: "
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f"{logarithmisch.std(ddof=1)*np.sqrt(252)*100:.2f} % p.a.")
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print(" (Die Wurzel-Zeit-Regel gilt nur bei unabhaengigen Renditen -")
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print(" fuer reale Maerkte ist sie eine Naeherung.)")
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print("=" * 74)
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