operations_research/bilder_04/erzeuge_almgren_chriss.py

#!/usr/bin/env python3

# erzeuge_almgren_chriss.py
"""
Erzeugt das Ausfuehrungsdiagramm zum Kapitel Dynamische Programmierung:

    bilder_04/kap_dp_almgren_chriss.svg

Drei Wege, dieselbe Position abzubauen, und was sie kosten:

  * SOFORT - alles in der ersten Periode. Kein Kursrisiko, dafuer der volle
    Marktimpact auf einen Schlag.
  * TWAP - gleich grosse Scheiben. Wenig Impact je Scheibe, dafuer haelt man
    die Position lange und traegt ihr Kursrisiko.
  * OPTIMAL - die Loesung der Bellman-Gleichung: vorne mehr, hinten weniger.

Der Punkt, auf den es ankommt: Die optimale Kurve liegt nicht "in der Mitte"
zwischen den beiden Extremen, sondern ist gekruemmt. Ihre Kruemmung ist die
Antwort auf die Frage, wie teuer Eile gegen Warten ist - und genau diese Frage
beantwortet die dynamische Programmierung.

Bestand und Kosten kommen aus Mehrperiodige_Order_Execution.py. Der Vergleich
der Kosten steht als Zahl im Bild; sie wird gerechnet, nicht eingetragen.

GEZEICHNET WIRD DER DP-PFAD, NICHT DIE GESCHLOSSENE FORMEL. Beim Bau dieses
Bildes fiel auf, dass beide auseinanderlaufen: Der DP-Pfad kostet 10 266,24 EUR
- der Wert, den das Kapitel abdruckt -, der Pfad aus analytische_loesung()
dagegen 10 860,40 EUR. Ein Gitterverfahren kann das kontinuierliche Optimum
aber nicht unterbieten, also stimmt die Formel nicht mit der Kostenfunktion
ueberein: periodenkosten() rechnet das Risiko mit lambda/2, die Formel setzt
kappa~^2 = lambda*sigma^2*P0^2/eta ohne dieses Halbe. Mit lambda/2 ergibt die
Formel 10 264,85 EUR und denselben Pfad wie die DP - knapp UNTER der
Gitterloesung, wie es sein muss. Bis das im Programm entschieden ist, zeigt das
Bild den DP-Pfad; er ist der, den das Kapitel ausweist.

Aufruf (aus dem Repository-Wurzelverzeichnis):
    python3 bilder_04/erzeuge_almgren_chriss.py

Benoetigt: numpy, matplotlib
"""

from __future__ import annotations

import os
import sys

import numpy as np

HIER = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
BASIS = os.path.dirname(HIER)
sys.path.insert(0, HIER)
sys.path.insert(0, os.path.join(
    BASIS, "Operations_Research_mit_Python_Version_04_Programme"))

from stil_04 import FARBEN, neue_figur, speichere              # noqa: E402
from Mehrperiodige_Order_Execution import (ETA, GESAMTBESTAND,  # noqa: E402
                                           KURS, PERIODEN,
                                           RISIKOAVERSION,
                                           VOLA_PERIODE,
                                           SCHRITTWEITE, loese_dp,
                                           periodenkosten)

# Der im Kapitel abgedruckte Wert der optimalen Strategie - nur zum
# Gegenpruefen.
GESAMTREIBUNG_IM_BUCH = 10_266.24


def impaktkosten(bestand: np.ndarray) -> float:
    """Temporaerer Marktimpact: eta je Stueck^2 auf jede Scheibe."""
    scheiben = -np.diff(bestand)
    return float(ETA * np.sum(scheiben ** 2))


def risikokosten(bestand: np.ndarray) -> float:
    """Risiko des jeweiligen Restbestands, mit dem Faktor des Buchprogramms."""
    return float(gesamtkosten(bestand) - impaktkosten(bestand))


def gesamtkosten(bestand: np.ndarray) -> float:
    """Summe der Periodenkosten - mit periodenkosten() des Buchprogramms.

    Bewusst nicht selbst formuliert: Das Buch rechnet das Risiko mit dem Faktor
    lambda/2. Eine eigene Formel ohne diesen Faktor haette Zahlen ergeben, die
    zur Tabelle im Kapitel nicht passen."""
    scheiben = -np.diff(bestand)
    return float(sum(periodenkosten(float(scheiben[t]), float(bestand[t + 1]))
                     for t in range(len(scheiben))))


def zeichne(pfade: dict[str, np.ndarray]) -> None:
    figur, achse = neue_figur(breite=8.0, hoehe=4.6)
    t = np.arange(PERIODEN + 1)

    stile = {
        "sofort verkaufen": (FARBEN["fehler"], "--"),
        "gleichmäßig (TWAP)": (FARBEN["zweit"], "--"),
        "optimal (Bellman)": (FARBEN["gut"], "-"),
    }
    for name, bestand in pfade.items():
        farbe, strich = stile[name]
        achse.plot(t, bestand / 1000.0, strich, color=farbe,
                   linewidth=2.6 if strich == "-" else 1.9,
                   marker="o", markersize=5, zorder=4,
                   label=f"{name} — {gesamtkosten(bestand):,.0f} €"
                         .replace(",", "."))

    achse.set_xlabel("Handelsperiode $t$")
    achse.set_ylabel("verbleibender Bestand in Tausend Stück")
    achse.set_title(f"{GESAMTBESTAND:,} Stück abbauen — drei Wege, "
                    f"drei Rechnungen".replace(",", "."),
                    fontsize=10.5, color=FARBEN["text"])
    achse.set_xticks(t)
    achse.set_ylim(-4, GESAMTBESTAND / 1000.0 * 1.08)
    achse.legend(fontsize=9, loc="upper right", frameon=False)

    achse.annotate(
        "Eile kostet Marktimpact, Warten kostet Kursrisiko.\n"
        "Die optimale Kurve ist gekrümmt, weil sie beides gegeneinander "
        "abwägt.",
        xy=(0.03, 0.06), xycoords="axes fraction", fontsize=9,
        color=FARBEN["text"], va="bottom")

    speichere(figur, "kap_dp_almgren_chriss")


if __name__ == "__main__":
    sofort = np.array([GESAMTBESTAND] + [0] * PERIODEN, dtype=float)
    twap = np.linspace(GESAMTBESTAND, 0, PERIODEN + 1)

    # Der Pfad der Rueckwaertsinduktion - genau der, den das Kapitel abdruckt.
    _zustaende, _V, politik = loese_dp()
    bestand, verlauf = float(GESAMTBESTAND), [float(GESAMTBESTAND)]
    for t in range(PERIODEN):
        bestand -= politik[t, int(round(bestand / SCHRITTWEITE))]
        verlauf.append(bestand)
    optimal = np.array(verlauf, dtype=float)

    pfade = {"sofort verkaufen": sofort, "gleichmäßig (TWAP)": twap,
             "optimal (Bellman)": optimal}
    for name, bestand in pfade.items():
        print(f"  {name:<20} Impact {impaktkosten(bestand):>10,.0f} EUR   "
              f"Risiko {risikokosten(bestand):>9,.0f} EUR   "
              f"gesamt {gesamtkosten(bestand):>10,.0f} EUR")

    if gesamtkosten(optimal) > min(gesamtkosten(sofort), gesamtkosten(twap)):
        raise SystemExit(
            "Almgren-Chriss-Bild: Die analytische Loesung ist teurer als eine "
            "der beiden Vergleichsstrategien. Dann stimmt die Kostenformel "
            "hier nicht mit der des Buchprogramms ueberein.")
    abweichung = abs(gesamtkosten(optimal) - GESAMTREIBUNG_IM_BUCH)
    if abweichung > 0.01:
        raise SystemExit(
            f"Almgren-Chriss-Bild: Der DP-Pfad kostet "
            f"{gesamtkosten(optimal):,.2f} EUR, das Kapitel druckt "
            f"{GESAMTREIBUNG_IM_BUCH:,.2f} EUR.")
    print(f"  stimmt mit dem abgedruckten Wert überein: "
          f"{GESAMTREIBUNG_IM_BUCH:,.2f} EUR")
    zeichne(pfade)