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Python
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Python
#!/usr/bin/env python3
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# erzeuge_var_vs_cvar.py
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"""
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Erzeugt das Subadditivitaets-Bild zum Kapitel CVaR:
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bilder_04/kap_cvar_subadditivitaet.svg
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ERGAENZT kap_cvar_var_vergleich.svg, ersetzt es nicht: Jenes zeigt, WAS die
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beiden Kennzahlen sind - eine Schwelle und ein Mittelwert. Dieses zeigt, warum
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der Unterschied zaehlt.
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Gerechnet wird das Gegenbeispiel aus Teil 2 von VaR_CVaR_Demo.py: zwei
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unabhaengige Anleihen, je 100 EUR Nominal, Ausfallwahrscheinlichkeit 4 %,
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sonst 2 EUR Kupon. Einzeln meldet der VaR fuer jede Anleihe einen GEWINN von
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2 EUR - denn 4 % liegen unter der 5-%-Schwelle, der Ausfall faellt also aus der
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Betrachtung heraus. Im Portfolio steigt die Wahrscheinlichkeit mindestens eines
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Ausfalls auf 7,8 % und damit UEBER die Schwelle; der VaR springt auf 98 EUR.
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Das ist die Aussage des Bildes: Der VaR behauptet, Streuung habe das Risiko um
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102 EUR ERHOEHT. Der CVaR, der den ganzen Rand mittelt statt ihn abzuschneiden,
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kommt auf 101,33 EUR gegenueber 159,24 EUR - Streuung senkt das Risiko, wie es
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sein muss.
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Die Ziehungsreihenfolge des Buchprogramms wird nachgespielt: default_rng(2026),
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und Teil 1 des Programms zieht nichts, also sind die beiden Anleihen die ersten
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Ziehungen. Deshalb stehen im Bild genau die Zahlen der abgedruckten Tabelle;
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pruefe_gegen_buch() bricht ab, wenn nicht.
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Aufruf (aus dem Repository-Wurzelverzeichnis):
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python3 bilder_04/erzeuge_var_vs_cvar.py
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Benoetigt: numpy, matplotlib
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"""
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from __future__ import annotations
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import os
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import sys
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import numpy as np
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HIER = os.path.dirname(os.path.abspath(__file__))
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BASIS = os.path.dirname(HIER)
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sys.path.insert(0, HIER)
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sys.path.insert(0, os.path.join(
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BASIS, "Operations_Research_mit_Python_Version_04_Programme"))
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from stil_04 import FARBEN, speichere # noqa: E402
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import matplotlib.pyplot as plt # noqa: E402
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from VaR_CVaR_Demo import cvar_rockafellar, var_quantil # noqa: E402
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# Instanz wortgleich zu Teil 2 von VaR_CVaR_Demo.py.
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SAAT = 2026
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ZIEHUNGEN = 2_000_000
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AUSFALLWAHRSCHEINLICHKEIT = 0.04
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VERLUST_BEI_AUSFALL = 100.0
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KUPON = 2.0
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# Die im Kapitel abgedruckte Tabelle; nur zum Gegenpruefen.
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TABELLE_IM_BUCH = {
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"Anleihe A allein": (-2.00, 79.59),
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"Anleihe B allein": (-2.00, 79.66),
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"Portfolio A+B": (98.00, 101.33),
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"Summe der Einzelwerte": (-4.00, 159.24),
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}
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def rechne() -> dict[str, tuple[float, float]]:
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"""Dieselben Ziehungen wie im Buchprogramm - siehe Modulkommentar."""
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rng = np.random.default_rng(SAAT)
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verlust_a = np.where(rng.random(ZIEHUNGEN) < AUSFALLWAHRSCHEINLICHKEIT,
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VERLUST_BEI_AUSFALL, -KUPON)
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verlust_b = np.where(rng.random(ZIEHUNGEN) < AUSFALLWAHRSCHEINLICHKEIT,
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VERLUST_BEI_AUSFALL, -KUPON)
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werte = {}
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for name, v in (("Anleihe A allein", verlust_a),
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("Anleihe B allein", verlust_b),
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("Portfolio A+B", verlust_a + verlust_b)):
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werte[name] = (var_quantil(v), cvar_rockafellar(v))
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werte["Summe der Einzelwerte"] = tuple(
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werte["Anleihe A allein"][i] + werte["Anleihe B allein"][i]
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for i in (0, 1))
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return werte
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def pruefe_gegen_buch(werte) -> None:
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"""Die Tafel muss dieselben Zahlen zeigen wie die Tabelle im Kapitel."""
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for name, (soll_var, soll_cvar) in TABELLE_IM_BUCH.items():
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ist_var, ist_cvar = werte[name]
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if abs(ist_var - soll_var) > 0.005 or abs(ist_cvar - soll_cvar) > 0.005:
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raise SystemExit(
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f"Subadditivitaets-Bild: '{name}' ergibt VaR {ist_var:.2f} / "
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f"CVaR {ist_cvar:.2f}, das Kapitel druckt {soll_var:.2f} / "
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f"{soll_cvar:.2f} ab.")
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# Die Aussage selbst - nicht nur die Zahlen.
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if not werte["Portfolio A+B"][0] > werte["Summe der Einzelwerte"][0]:
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raise SystemExit("Subadditivitaets-Bild: Der VaR verletzt die "
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"Subadditivitaet hier nicht - dann zeigt die Tafel "
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"das Gegenteil ihrer Überschrift.")
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if not werte["Portfolio A+B"][1] <= werte["Summe der Einzelwerte"][1]:
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raise SystemExit("Subadditivitaets-Bild: Der CVaR ist hier nicht "
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"subadditiv. Das widerspricht dem Kapiteltext.")
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def euro(wert: float) -> str:
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return f"{wert:,.2f} €".replace(",", "@").replace(".", ",").replace("@", ".")
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def zeichne(werte) -> None:
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figur, achsen = plt.subplots(1, 2, figsize=(10.2, 4.4))
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namen = ["Anleihe A allein", "Anleihe B allein",
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"Summe der Einzelwerte", "Portfolio A+B"]
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y = np.arange(len(namen))[::-1]
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for achse, index, titel, urteil, farbe in (
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(achsen[0], 0, "VaR 95 %",
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"Portfolio teurer als die Summe —\nSubadditivität verletzt",
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FARBEN["fehler"]),
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(achsen[1], 1, "CVaR 95 %",
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"Portfolio billiger als die Summe —\nsubadditiv, also kohärent",
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FARBEN["gut"])):
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wert = [werte[n][index] for n in namen]
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farben = [FARBEN["gedaempft"], FARBEN["gedaempft"],
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FARBEN["zweit"], farbe]
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achse.barh(y, wert, height=0.6, color=farben, zorder=3)
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# Balken muessen bei null beginnen, sonst luegt ihre Laenge. Der Rand
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# links richtet sich nach der Spannweite, damit die Zahl an einem
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# negativen Balken nicht an der Achsenbeschriftung klebt.
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spanne = max(wert) - min(0.0, min(wert))
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achse.set_xlim(min(0.0, min(wert)) - 0.20 * spanne, max(wert) * 1.22)
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for stelle, w in enumerate(wert):
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abstand = 0.015 * spanne
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achse.text(w + (abstand if w >= 0 else -abstand), y[stelle],
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euro(w), va="center", ha="left" if w >= 0 else "right",
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fontsize=9, color=FARBEN["text"], zorder=4)
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achse.axvline(0, color=FARBEN["text"], linewidth=1.0, zorder=2)
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achse.set_yticks(y)
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achse.set_yticklabels(namen if index == 0 else [], fontsize=9,
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color=FARBEN["text"])
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achse.set_title(titel, fontsize=11, color=FARBEN["text"], pad=34)
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achse.set_xlabel("Verlust in € (negativ = Gewinn)")
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achse.grid(axis="y", visible=False)
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# Das Urteil ueber der Achse, nicht in ihr - sonst stoesst es an die
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# Zahl am obersten Balken.
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achse.text(0.5, 1.008, urteil, transform=achse.transAxes,
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fontsize=8.5, color=farbe, ha="center", va="bottom",
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fontweight="bold")
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figur.suptitle("Zwei unabhängige Anleihen, je 4 % Ausfallrisiko — "
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"und zwei Urteile über dieselbe Diversifikation",
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fontsize=11, color=FARBEN["text"], y=1.02)
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speichere(figur, "kap_cvar_subadditivitaet")
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if __name__ == "__main__":
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werte = rechne()
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print(f" {'':<24} {'VaR 95%':>10} {'CVaR 95%':>10}")
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for name in ("Anleihe A allein", "Anleihe B allein", "Portfolio A+B",
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"Summe der Einzelwerte"):
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print(f" {name:<24} {werte[name][0]:>10.2f} {werte[name][1]:>10.2f}")
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pruefe_gegen_buch(werte)
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print(" stimmt mit der abgedruckten Tabelle überein")
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print(f" VaR: Portfolio {werte['Portfolio A+B'][0]:.2f} > Summe "
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f"{werte['Summe der Einzelwerte'][0]:.2f} — verletzt")
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print(f" CVaR: Portfolio {werte['Portfolio A+B'][1]:.2f} ≤ Summe "
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f"{werte['Summe der Einzelwerte'][1]:.2f} — kohärent")
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zeichne(werte)
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