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operations_research/OR_HTML_04/Notebooks_04/unsicherheit.ipynb
dschlueter 99cb85907c Stichwortregister: automatische Markierung aller Glossarbegriffe (988 statt 456 Marker) 
Neues Skript erzeuge_stichwortregister_04.py:
- Sucht alle Glossarbegriffe (Anzeigename) in den Kapiteldateien
  und markiert die erste Fundstelle je Datei mit {idx:Indexmarke}
- Termliste aus glossar_eintraege_04.py + vorhandenen {idx:...}-Markern
- Idempotent: erkennt vorhandene Marker und überspringt sie
- Überspringt Codeblöcke, Inline-Code und Math
- --check und --bericht Modi
- 605 Marker eingefügt (2 Durchläufe: 597 + 8)

Zusätzlich:
- titeltexte_04.py _saeubern(): entfernt {idx:...}-Marker vor
  Titeltext-Vergleich (pruefe_titeltexte schlug sonst fehl)
2026-09-10 00:07:01 +02:00

714 lines
32 KiB
Text
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Raw Blame History

{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Kapitel 12: Optimierung unter Unsicherheit — Monte-Carlo, Stochastik, Robustheit\n",
"\n",
"Begleitnotebook zu *Optimierte Entscheidungsfindung mit Python*. Die Codezellen sind identisch mit den im Buch abgedruckten Programmen.\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Einmalig ausfuehren: installiert alle im Buch verwendeten Pakete.\n",
"# Lokal in einer virtuellen Umgebung genauso gueltig wie in Google Colab.\n",
"%pip install --quiet ortools highspy cvxpy scipy numpy pandas polars \\\n",
" scikit-learn matplotlib plotly pyomo linopy pymoo pydantic openpyxl"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## Der Fluch des Durchschnitts\n",
"\n",
"`Fluch_des_Durchschnitts.py`\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#!/usr/bin/env python3\n",
"\n",
"# Fluch_des_Durchschnitts.py\n",
"\"\"\"\n",
"Kapitel Unsicherheit: Der Fluch des Durchschnitts (die Handrechnung dazu) als Scan ueber alle\n",
"moeglichen Kapazitaeten - zeigt, dass das Optimum nicht beim Mittelwert liegt.\n",
"\"\"\"\n",
"\n",
"import numpy as np\n",
"\n",
"SZENARIEN = np.array([100, 250, 500])\n",
"WAHRSCHEINLICHKEITEN = np.array([0.5, 0.3, 0.2])\n",
"PREIS_VORAB = 40.0\n",
"PREIS_ZUKAUF = 120.0\n",
"PREIS_VERWALTUNG = 5.0\n",
"\n",
"ERWARTUNGSWERT = float(SZENARIEN @ WAHRSCHEINLICHKEITEN)\n",
"\n",
"\n",
"def erwartete_kosten(x):\n",
" kosten = np.where(\n",
" SZENARIEN >= x,\n",
" PREIS_VORAB * x + PREIS_ZUKAUF * (SZENARIEN - x),\n",
" PREIS_VORAB * x + PREIS_VERWALTUNG * (x - SZENARIEN),\n",
" )\n",
" return float(kosten @ WAHRSCHEINLICHKEITEN)\n",
"\n",
"\n",
"if __name__ == \"__main__\":\n",
" print(\"=\" * 70)\n",
" print(\" DER FLUCH DES DURCHSCHNITTS\")\n",
" print(\"=\" * 70)\n",
" print(f\"Erwarteter Bedarf (Mittelwert): {ERWARTUNGSWERT:.1f}\")\n",
" print(f\"Kosten bei naiver Planung x={ERWARTUNGSWERT:.0f}: \"\n",
" f\"{erwartete_kosten(ERWARTUNGSWERT):,.2f} EUR\\n\")\n",
"\n",
" x_werte = np.arange(0, 501, 1)\n",
" kosten_werte = np.array([erwartete_kosten(x) for x in x_werte])\n",
" x_optimal = x_werte[np.argmin(kosten_werte)]\n",
" kosten_optimal = kosten_werte.min()\n",
"\n",
" print(f\"Optimales x (durch Scan gefunden): {x_optimal}\")\n",
" print(f\"Kosten beim Optimum: {kosten_optimal:,.2f} EUR\")\n",
" print(f\"Ersparnis gegenueber naiver Planung: \"\n",
" f\"{erwartete_kosten(ERWARTUNGSWERT) - kosten_optimal:,.2f} EUR\\n\")\n",
"\n",
" print(\"Kosten fuer ausgewaehlte x zum Vergleich:\")\n",
" for x in [100, 225, 250, 300, 500]:\n",
" markierung = \" <- Mittelwert\" if x == 225 else (\" <- Optimum\" if x == 250 else \"\")\n",
" print(f\" x={x:4d}: {erwartete_kosten(x):>12,.2f} EUR{markierung}\")\n",
"\n",
" print(\"\\nDas Optimum liegt exakt auf einem Szenariowert (250 = 'Volatil'),\")\n",
" print(\"nicht beim Mittelwert 225 - typisch fuer asymmetrische Kostenfunktionen.\")"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## Monte-Carlo-Simulation{idx:Monte-Carlo-Simulation}\n",
"\n",
"`Monte_Carlo.py`\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#!/usr/bin/env python3\n",
"\n",
"# Monte_Carlo.py\n",
"\"\"\"\n",
"Kapitel Unsicherheit: Monte-Carlo-Bewertung von Kapazitaetsplaenen.\n",
"\n",
"Monte Carlo OPTIMIERT nicht - es BEWERTET. Der Nutzen liegt darin, dass man\n",
"beliebige Kennzahlen ablesen kann: Erwartungswert, Quantile, Ausfallwahr-\n",
"scheinlichkeit, Worst Case. Genau diese Groessen braucht man, um zwischen\n",
"Plaenen zu entscheiden.\n",
"\"\"\"\n",
"\n",
"import numpy as np\n",
"\n",
"KOSTEN_VORAB = 40.0 # EUR je Einheit, im Voraus gekauft\n",
"KOSTEN_SPOT = 120.0 # EUR je Einheit, kurzfristig zugekauft\n",
"KOSTEN_LEERLAUF = 5.0 # EUR je ungenutzter Einheit\n",
"\n",
"ANZAHL_ZIEHUNGEN = 100_000\n",
"\n",
"\n",
"def ziehe_bedarf(rng, ziehungen):\n",
" \"\"\"\n",
" Bedarfsmodell: Mischverteilung aus Normalbetrieb und seltenen Lastspitzen.\n",
" Realistischer als eine reine Normalverteilung - Krisen sind selten,\n",
" aber extrem (fat tail).\n",
" \"\"\"\n",
" normal = rng.normal(loc=150, scale=40, size=ziehungen)\n",
" spitze = rng.normal(loc=450, scale=80, size=ziehungen)\n",
" ist_spitze = rng.random(ziehungen) < 0.15 # 15 % Lastspitzen\n",
" return np.maximum(np.where(ist_spitze, spitze, normal), 0.0)\n",
"\n",
"\n",
"def kosten_fuer(kapazitaet, bedarf):\n",
" \"\"\"Gesamtkosten je Szenario fuer eine gegebene Vorabkapazitaet.\"\"\"\n",
" unterdeckung = np.maximum(bedarf - kapazitaet, 0.0)\n",
" ueberdeckung = np.maximum(kapazitaet - bedarf, 0.0)\n",
" return (KOSTEN_VORAB * kapazitaet\n",
" + KOSTEN_SPOT * unterdeckung\n",
" + KOSTEN_LEERLAUF * ueberdeckung)\n",
"\n",
"\n",
"if __name__ == \"__main__\":\n",
" rng = np.random.default_rng(2026)\n",
" bedarf = ziehe_bedarf(rng, ANZAHL_ZIEHUNGEN)\n",
"\n",
" print(\"=\" * 88)\n",
" print(f\" MONTE-CARLO-BEWERTUNG ({ANZAHL_ZIEHUNGEN:,} Szenarien)\")\n",
" print(\"=\" * 88)\n",
" print(f\"Bedarfsverteilung: Mittelwert {bedarf.mean():.1f} | \"\n",
" f\"Median {np.median(bedarf):.1f} | \"\n",
" f\"95%-Quantil {np.percentile(bedarf, 95):.1f} | \"\n",
" f\"Maximum {bedarf.max():.1f}\")\n",
" print(\"Der Median liegt deutlich unter dem Mittelwert - die Verteilung ist\")\n",
" print(\"rechtsschief. Genau hier fuehrt Planung mit dem Mittelwert in die Irre.\\n\")\n",
"\n",
" print(f\"{'Kapazitaet':>10} | {'Erw. Kosten':>12} | {'Median':>10} | \"\n",
" f\"{'95%-Quantil':>12} | {'Unterdeckung':>12}\")\n",
" print(\"-\" * 88)\n",
"\n",
" kandidaten = [150, 200, 225, 250, 300, 350, 400]\n",
" ergebnisse = []\n",
" for kapazitaet in kandidaten:\n",
" kosten = kosten_fuer(kapazitaet, bedarf)\n",
" p_unterdeckung = float(np.mean(bedarf > kapazitaet))\n",
" ergebnisse.append((kapazitaet, kosten.mean(), p_unterdeckung))\n",
" print(f\"{kapazitaet:>10} | {kosten.mean():>12,.0f} | \"\n",
" f\"{np.median(kosten):>10,.0f} | {np.percentile(kosten, 95):>12,.0f} | \"\n",
" f\"{p_unterdeckung*100:>11.1f} %\")\n",
"\n",
" beste = min(ergebnisse, key=lambda t: t[1])\n",
" print(\"-\" * 88)\n",
" print(f\"Bester Kandidat: Kapazitaet {beste[0]} mit erwarteten Kosten \"\n",
" f\"{beste[1]:,.0f} EUR\")\n",
"\n",
" # --- Feinsuche ueber ein Raster ---------------------------------------\n",
" raster = np.arange(100, 500, 5)\n",
" erwartete = np.array([kosten_fuer(k, bedarf).mean() for k in raster])\n",
" optimum = raster[int(np.argmin(erwartete))]\n",
" print(f\"Feinsuche (Raster 100..500): Optimum bei Kapazitaet {optimum}, \"\n",
" f\"Kosten {erwartete.min():,.0f} EUR\")\n",
"\n",
" # --- Vergleich mit der naiven Mittelwertplanung ----------------------\n",
" naiv = int(round(bedarf.mean()))\n",
" kosten_naiv = kosten_fuer(naiv, bedarf).mean()\n",
" kosten_opt = kosten_fuer(optimum, bedarf).mean()\n",
" print(\"\\n--- Fluch des Durchschnitts, gemessen ---\")\n",
" print(f\" Planung mit Mittelwert ({naiv}): {kosten_naiv:,.0f} EUR\")\n",
" print(f\" Monte-Carlo-Optimum ({optimum}): {kosten_opt:,.0f} EUR\")\n",
" print(f\" Mehrkosten der naiven Planung: {kosten_naiv - kosten_opt:,.0f} EUR \"\n",
" f\"({(kosten_naiv/kosten_opt - 1)*100:.1f} %)\")\n",
" print(\"=\" * 88)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## Zweistufige stochastische Programmierung\n",
"\n",
"`Stochastische_Optimierung.py`\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#!/usr/bin/env python3\n",
"\n",
"# Stochastische_Optimierung.py\n",
"\"\"\"\n",
"Kapitel Unsicherheit: Two-Stage Stochastic Programming mit CVXPY.\n",
"\n",
"Eigenschaften:\n",
" * Die Analyse am Ende wird BERECHNET statt fest verdrahtet\n",
" * Vergleich gegen drei Alternativen: Mittelwert, Worst Case, perfekte Voraussicht\n",
" * Kennzahl EVPI (Wert perfekter Information) wird ausgewiesen\n",
"\"\"\"\n",
"\n",
"import cvxpy as cp\n",
"import numpy as np\n",
"import pandas as pd\n",
"\n",
"SZENARIEN = [\"Ruhig\", \"Volatil\", \"Crash\"]\n",
"WAHRSCHEINLICHKEIT = np.array([0.50, 0.30, 0.20])\n",
"BEDARF = np.array([100.0, 250.0, 500.0])\n",
"\n",
"KOSTEN_VORAB = 40.0\n",
"KOSTEN_SPOT = 120.0\n",
"KOSTEN_LEERLAUF = 5.0\n",
"\n",
"S = len(SZENARIEN)\n",
"\n",
"\n",
"def loese_stochastisch():\n",
" \"\"\"Zweistufiges Modell: eine Vorabentscheidung, szenarioabhaengige Korrektur.\"\"\"\n",
" x = cp.Variable(nonneg=True, name=\"Basiskapazitaet\") # Stufe 1\n",
" y_spot = cp.Variable(S, nonneg=True, name=\"Spot_Zukauf\") # Stufe 2\n",
" y_leer = cp.Variable(S, nonneg=True, name=\"Leerlauf\") # Stufe 2\n",
"\n",
" # Kopplung: Basis + Zukauf - Leerlauf == Bedarf (je Szenario)\n",
" nebenbedingungen = [x + y_spot[s] - y_leer[s] == BEDARF[s] for s in range(S)]\n",
"\n",
" erwartete_korrektur = sum(\n",
" WAHRSCHEINLICHKEIT[s] * (KOSTEN_SPOT * y_spot[s] + KOSTEN_LEERLAUF * y_leer[s])\n",
" for s in range(S))\n",
"\n",
" problem = cp.Problem(cp.Minimize(KOSTEN_VORAB * x + erwartete_korrektur),\n",
" nebenbedingungen)\n",
" problem.solve()\n",
" return problem, x, y_spot, y_leer\n",
"\n",
"\n",
"def kosten_bei(kapazitaet):\n",
" \"\"\"Erwartete Gesamtkosten fuer eine fest vorgegebene Kapazitaet.\"\"\"\n",
" unter = np.maximum(BEDARF - kapazitaet, 0.0)\n",
" ueber = np.maximum(kapazitaet - BEDARF, 0.0)\n",
" je_szenario = KOSTEN_VORAB * kapazitaet + KOSTEN_SPOT * unter + KOSTEN_LEERLAUF * ueber\n",
" return float(WAHRSCHEINLICHKEIT @ je_szenario)\n",
"\n",
"\n",
"if __name__ == \"__main__\":\n",
" problem, x, y_spot, y_leer = loese_stochastisch()\n",
" kapazitaet = float(x.value)\n",
" mittelwert = float(WAHRSCHEINLICHKEIT @ BEDARF)\n",
"\n",
" print(\"=\" * 82)\n",
" print(\" STOCHASTISCHE TWO-STAGE OPTIMIERUNG (KAPAZITAETSPLANUNG)\")\n",
" print(\"=\" * 82)\n",
" print(f\"Status: {problem.status}\")\n",
" print(f\"Erwarteter Bedarf (Mittelwert): {mittelwert:.1f} Einheiten\")\n",
" print(f\"Optimale Stufe-1-Kapazitaet x*: {kapazitaet:.1f} Einheiten\")\n",
" print(f\"Minimale erwartete Gesamtkosten: {problem.value:,.2f} EUR\\n\")\n",
"\n",
" tabelle = pd.DataFrame({\n",
" \"Szenario\": SZENARIEN,\n",
" \"Wahrsch.\": [f\"{p*100:.0f} %\" for p in WAHRSCHEINLICHKEIT],\n",
" \"Bedarf\": BEDARF,\n",
" \"Basis genutzt\": [min(kapazitaet, b) for b in BEDARF],\n",
" \"Spot-Zukauf\": np.round(y_spot.value, 1),\n",
" \"Leerlauf\": np.round(y_leer.value, 1),\n",
" \"Kosten (EUR)\": [f\"{KOSTEN_VORAB*kapazitaet + KOSTEN_SPOT*y_spot.value[s] + KOSTEN_LEERLAUF*y_leer.value[s]:,.0f}\"\n",
" for s in range(S)],\n",
" })\n",
" print(tabelle.to_string(index=False))\n",
"\n",
" # --- Vergleich mit Alternativstrategien (berechnet, nicht behauptet) --\n",
" print(\"\\n\" + \"-\" * 82)\n",
" print(\"Vergleich verschiedener Planungsstrategien:\")\n",
" print(f\"{'Strategie':<34} {'Kapazitaet':>11} {'Erw. Kosten':>14} {'Mehrkosten':>13}\")\n",
" print(\"-\" * 82)\n",
"\n",
" optimal = problem.value\n",
" strategien = [\n",
" (\"Stochastisch optimal\", kapazitaet),\n",
" (\"Naiv: Mittelwert einsetzen\", mittelwert),\n",
" (\"Vorsichtig: Worst Case abdecken\", float(BEDARF.max())),\n",
" (\"Optimistisch: Bestfall\", float(BEDARF.min())),\n",
" ]\n",
" for name, kap in strategien:\n",
" kosten = kosten_bei(kap)\n",
" print(f\"{name:<34} {kap:>11.1f} {kosten:>14,.0f} \"\n",
" f\"{kosten - optimal:>+13,.0f}\")\n",
"\n",
" # --- EVPI: Was waere perfekte Voraussicht wert? ----------------------\n",
" # Bei perfekter Information wuerde man je Szenario genau den Bedarf kaufen.\n",
" kosten_perfekt = float(WAHRSCHEINLICHKEIT @ (KOSTEN_VORAB * BEDARF))\n",
" evpi = optimal - kosten_perfekt\n",
" print(\"-\" * 82)\n",
" print(f\"Kosten bei perfekter Voraussicht: {kosten_perfekt:>10,.0f} EUR\")\n",
" print(f\"Wert perfekter Information (EVPI): {evpi:>10,.0f} EUR \"\n",
" f\"({evpi/optimal*100:.1f} % der Kosten)\")\n",
" print(\" -> So viel duerfte eine perfekte Bedarfsprognose hoechstens kosten.\")\n",
"\n",
" # --- Automatische Interpretation --------------------------------------\n",
" print(\"-\" * 82)\n",
" if kapazitaet > mittelwert + 1e-6:\n",
" print(f\"Analyse: Der Solver waehlt {kapazitaet:.0f} Einheiten und damit MEHR als\")\n",
" print(f\"den Mittelwert ({mittelwert:.0f}), weil Unterdeckung ({KOSTEN_SPOT:.0f} EUR)\")\n",
" print(f\"deutlich teurer ist als Leerlauf ({KOSTEN_LEERLAUF:.0f} EUR).\")\n",
" elif kapazitaet < mittelwert - 1e-6:\n",
" print(f\"Analyse: Der Solver waehlt {kapazitaet:.0f} und damit WENIGER als den\")\n",
" print(f\"Mittelwert ({mittelwert:.0f}) - Leerlauf ist hier teurer als Zukauf.\")\n",
" else:\n",
" print(\"Analyse: Kapazitaet entspricht dem Mittelwert (symmetrische Kosten).\")\n",
" print(\"=\" * 82)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## Robuste Optimierung{idx:Robuste Optimierung}: gegen den Worst Case absichern\n",
"\n",
"`Robuste_Optimierung.py`\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#!/usr/bin/env python3\n",
"\n",
"# Robuste_Optimierung.py\n",
"\"\"\"\n",
"Kapitel Unsicherheit: Robuste Portfolio-Optimierung.\n",
"\n",
"Vergleicht drei Haltungen zur Unsicherheit:\n",
" (a) nominal - vertraut den Punktschaetzungen blind\n",
" (b) robust - sichert gegen Box-Unsicherheit ab (Worst Case)\n",
" (c) stochastisch - optimiert den Erwartungswert ueber Szenarien\n",
"\n",
"und misst den \"Preis der Robustheit\": Wie viel Ertrag kostet die Absicherung\n",
"im Normalfall - und wie viel Verlust erspart sie im Ernstfall?\n",
"\"\"\"\n",
"\n",
"import cvxpy as cp\n",
"import numpy as np\n",
"\n",
"ASSETS = [\"Aktien Welt\", \"Anleihen\", \"Rohstoffe\", \"Immobilien\"]\n",
"MU_SCHAETZUNG = np.array([0.085, 0.030, 0.055, 0.060]) # Punktschaetzung\n",
"UNSICHERHEIT = np.array([0.040, 0.008, 0.045, 0.025]) # +/- delta je Titel\n",
"VOLA = np.array([0.17, 0.05, 0.22, 0.12])\n",
"KORR = np.array([\n",
" [1.00, -0.15, 0.35, 0.55],\n",
" [-0.15, 1.00, -0.05, 0.10],\n",
" [0.35, -0.05, 1.00, 0.25],\n",
" [0.55, 0.10, 0.25, 1.00],\n",
"])\n",
"SIGMA = np.diag(VOLA) @ KORR @ np.diag(VOLA)\n",
"LAMBDA = 4.0 # Risikoaversion\n",
"N = len(ASSETS)\n",
"\n",
"\n",
"def optimiere(mu_effektiv):\n",
" \"\"\"Standard-Mean-Variance mit vorgegebenem Renditevektor.\"\"\"\n",
" w = cp.Variable(N, nonneg=True)\n",
" ziel = cp.Maximize(mu_effektiv @ w - 0.5 * LAMBDA * cp.quad_form(w, SIGMA))\n",
" problem = cp.Problem(ziel, [cp.sum(w) == 1])\n",
" problem.solve()\n",
" return w.value\n",
"\n",
"\n",
"def kennzahlen(w, mu):\n",
" ertrag = float(mu @ w)\n",
" risiko = float(np.sqrt(w @ SIGMA @ w))\n",
" return ertrag, risiko\n",
"\n",
"\n",
"if __name__ == \"__main__\":\n",
" print(\"=\" * 88)\n",
" print(\" ROBUSTE vs. NOMINALE PORTFOLIO-OPTIMIERUNG\")\n",
" print(\"=\" * 88)\n",
" print(f\"{'Asset':<14} {'Erw. Rendite':>14} {'Unsicherheit':>14} \"\n",
" f\"{'Worst Case':>12} {'Volatilitaet':>13}\")\n",
" print(\"-\" * 88)\n",
" for i, name in enumerate(ASSETS):\n",
" print(f\"{name:<14} {MU_SCHAETZUNG[i]*100:>13.1f} % \"\n",
" f\"{'+/- ' + format(UNSICHERHEIT[i]*100, '.1f') + ' %':>14} \"\n",
" f\"{(MU_SCHAETZUNG[i]-UNSICHERHEIT[i])*100:>11.1f} % \"\n",
" f\"{VOLA[i]*100:>12.1f} %\")\n",
"\n",
" # (a) nominal: vertraut den Schaetzungen\n",
" w_nominal = optimiere(MU_SCHAETZUNG)\n",
" # (b) robust: rechnet mit dem Worst Case der Box-Unsicherheitsmenge\n",
" w_robust = optimiere(MU_SCHAETZUNG - UNSICHERHEIT)\n",
"\n",
" print(\"\\n\" + \"-\" * 88)\n",
" print(f\"{'':<14} {'nominal':>22} {'robust':>22}\")\n",
" print(\"-\" * 88)\n",
" for i, name in enumerate(ASSETS):\n",
" print(f\"{name:<14} {w_nominal[i]*100:>21.1f} % {w_robust[i]*100:>21.1f} %\")\n",
"\n",
" # --- Bewertung in beiden Welten --------------------------------------\n",
" mu_worst = MU_SCHAETZUNG - UNSICHERHEIT\n",
" e_nom_gut, r_nom = kennzahlen(w_nominal, MU_SCHAETZUNG)\n",
" e_rob_gut, r_rob = kennzahlen(w_robust, MU_SCHAETZUNG)\n",
" e_nom_schlecht, _ = kennzahlen(w_nominal, mu_worst)\n",
" e_rob_schlecht, _ = kennzahlen(w_robust, mu_worst)\n",
"\n",
" print(\"\\n\" + \"-\" * 88)\n",
" print(f\"{'Bewertung':<34} {'nominales Portfolio':>22} {'robustes Portfolio':>22}\")\n",
" print(\"-\" * 88)\n",
" print(f\"{'Ertrag, wenn Schaetzung stimmt':<34} {e_nom_gut*100:>21.2f} % \"\n",
" f\"{e_rob_gut*100:>21.2f} %\")\n",
" print(f\"{'Ertrag im Worst Case':<34} {e_nom_schlecht*100:>21.2f} % \"\n",
" f\"{e_rob_schlecht*100:>21.2f} %\")\n",
" print(f\"{'Volatilitaet':<34} {r_nom*100:>21.2f} % {r_rob*100:>21.2f} %\")\n",
"\n",
" print(\"\\n\" + \"-\" * 88)\n",
" print(f\"Preis der Robustheit (Ertragsverzicht im Normalfall): \"\n",
" f\"{(e_nom_gut - e_rob_gut)*100:+.2f} Prozentpunkte\")\n",
" print(f\"Nutzen der Robustheit (Vorteil im Worst Case): \"\n",
" f\"{(e_rob_schlecht - e_nom_schlecht)*100:+.2f} Prozentpunkte\")\n",
" verhaeltnis = ((e_rob_schlecht - e_nom_schlecht)\n",
" / max(e_nom_gut - e_rob_gut, 1e-9))\n",
" print(f\"Verhaeltnis Nutzen/Preis: {verhaeltnis:.2f}\")\n",
" print(\" -> Werte > 1 bedeuten: Die Absicherung bringt im Ernstfall mehr,\")\n",
" print(\" als sie im Normalfall kostet.\")\n",
" print(\"=\" * 88)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## Der Fall: ein Kraftwerkspark mit 500 MW Zusage\n",
"\n",
"`Chance_Constraints.py`\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#!/usr/bin/env python3\n",
"\n",
"# Chance_Constraints.py\n",
"\"\"\"\n",
"Kapitel Unsicherheit: Wahrscheinlichkeitsbeschraenkungen.\n",
"\n",
"Das Management fragt selten \"was ist im Mittel am besten?\", sondern \"mit\n",
"welcher Sicherheit haelt der Plan?\". Genau das formuliert eine Chance\n",
"Constraint: P(Versorgung >= Bedarf) >= 1 - alpha.\n",
"\n",
"Gezeigt werden beide Wege dorthin, an derselben Instanz:\n",
" (a) analytisch - unter Normalverteilungsannahme wird daraus eine\n",
" Second-Order-Cone-Bedingung, loesbar mit CVXPY\n",
" (b) szenariobasiert - Big-M mit Binaervariablen, fuer beliebige\n",
" empirische Verteilungen\n",
"\n",
"Und die beiden Messungen, auf die es ankommt: Was kostet ein Prozentpunkt\n",
"Versorgungssicherheit - und haelt die Zusage auch dann, wenn die Verteilung\n",
"nicht normal ist?\n",
"\n",
"Solver: CLARABEL (Kegel) und SciPy/HiGHS (gemischt-ganzzahlig). Weder ortools\n",
"noch ein direkter highspy-Import, damit alles in einem Prozess laeuft.\n",
"\"\"\"\n",
"\n",
"import cvxpy as cp\n",
"import numpy as np\n",
"from scipy.stats import norm\n",
"\n",
"# --- Der Kraftwerkspark ----------------------------------------------------\n",
"# Die Verfuegbarkeit ist der Anteil, den eine installierte MW im Mittel\n",
"# wirklich liefert: bei Wind und Sonne klein und stark schwankend, bei Gas und\n",
"# Biomasse gross und stabil. Die Ausbaugrenze ist der Standort - Flaeche,\n",
"# Genehmigung, Brennstoffversorgung.\n",
"TECHNIK = [\"Gaskraftwerk\", \"Windpark\", \"Solarpark\", \"Biomasse\"]\n",
"KOSTEN = np.array([65_000.0, 24_000.0, 12_000.0, 60_000.0]) # EUR je MW und Jahr\n",
"VERFUEGBAR = np.array([0.92, 0.35, 0.18, 0.85])\n",
"STREUUNG = np.array([0.05, 0.16, 0.10, 0.04])\n",
"GRENZE = np.array([400.0, 250.0, 600.0, 350.0]) # MW\n",
"\n",
"# Wind und Sonne sind leicht gegenlaeufig: Ein Tiefdruckgebiet bringt Wind und\n",
"# Wolken zugleich. Genau diese Korrelation macht die Bedingung zu einem Kegel\n",
"# und nicht zu einer Summe unabhaengiger Einzelzuschlaege.\n",
"KORRELATION = np.array([\n",
" [1.00, 0.00, 0.00, 0.05],\n",
" [0.00, 1.00, -0.25, 0.00],\n",
" [0.00, -0.25, 1.00, 0.00],\n",
" [0.05, 0.00, 0.00, 1.00],\n",
"])\n",
"SIGMA = np.diag(STREUUNG) @ KORRELATION @ np.diag(STREUUNG)\n",
"WURZEL = np.linalg.cholesky(SIGMA) # L mit L @ L.T == SIGMA\n",
"\n",
"BEDARF = 500.0 # MW, die gesichert bereitstehen muessen\n",
"N = len(TECHNIK)\n",
"\n",
"# Die Kaeltewelle mit Dunkelflaute: selten, aber sie trifft alles zugleich.\n",
"# Wind und Sonne brechen fast vollstaendig weg - und, das ist der Punkt, das\n",
"# Gaskraftwerk liefert ebenfalls weniger, weil bei Frost der Netzdruck faellt.\n",
"# Eine Kovarianzmatrix mit Korrelationen um null kann das nicht ausdruecken.\n",
"P_KAELTEWELLE = 0.08\n",
"EINBRUCH = np.array([0.72, 0.10, 0.15, 0.88])\n",
"\n",
"\n",
"def mittelwertplan():\n",
" \"\"\"Plant mit den Erwartungswerten - ignoriert die Streuung vollstaendig.\"\"\"\n",
" x = cp.Variable(N, nonneg=True)\n",
" problem = cp.Problem(cp.Minimize(KOSTEN @ x),\n",
" [VERFUEGBAR @ x >= BEDARF, x <= GRENZE])\n",
" problem.solve(solver=cp.CLARABEL)\n",
" return problem.value, x.value\n",
"\n",
"\n",
"def chance_constraint_analytisch(alpha):\n",
" \"\"\"\n",
" P(a^T x >= BEDARF) >= 1 - alpha unter a ~ N(VERFUEGBAR, SIGMA).\n",
"\n",
" Aequivalent zu: VERFUEGBAR^T x - z * ||L^T x||_2 >= BEDARF\n",
" mit z = Phi^-1(1 - alpha). Das ist eine Second-Order-Cone-Bedingung: Der\n",
" Sicherheitszuschlag ist eine Norm ueber x, kein fester Aufschlag je Anlage.\n",
" Deshalb belohnt sie Mischung - zwei gegenlaeufige Quellen schwanken\n",
" gemeinsam weniger als jede fuer sich.\n",
" \"\"\"\n",
" x = cp.Variable(N, nonneg=True)\n",
" z = norm.ppf(1 - alpha)\n",
" bedingung = VERFUEGBAR @ x - z * cp.norm(WURZEL.T @ x, 2) >= BEDARF\n",
" problem = cp.Problem(cp.Minimize(KOSTEN @ x), [bedingung, x <= GRENZE])\n",
" problem.solve(solver=cp.CLARABEL)\n",
" return problem.value, x.value\n",
"\n",
"\n",
"def chance_constraint_szenarien(a, alpha):\n",
" \"\"\"\n",
" Dieselbe Zusage ohne Verteilungsannahme: Fuer jedes Szenario s sagt eine\n",
" Binaervariable z_s, ob es verletzt werden darf.\n",
"\n",
" a_s^T x >= BEDARF - M * z_s fuer alle s\n",
" sum_s z_s <= alpha * S\n",
"\n",
" M = BEDARF ist die kleinstmoegliche gueltige Schranke, denn a_s^T x >= 0:\n",
" Groesser kann eine Verletzung gar nicht ausfallen. Ein unnoetig grosses M\n",
" wuerde die LP-Relaxierung aufweichen und die Suche verlangsamen - die\n",
" Big-M-Falle aus dem Kapitel Gemischt-ganzzahlige Optimierung.\n",
" \"\"\"\n",
" S = len(a)\n",
" x = cp.Variable(N, nonneg=True)\n",
" z = cp.Variable(S, boolean=True)\n",
" problem = cp.Problem(\n",
" cp.Minimize(KOSTEN @ x),\n",
" [a @ x >= BEDARF - BEDARF * z, cp.sum(z) <= alpha * S, x <= GRENZE])\n",
" problem.solve(solver=cp.SCIPY)\n",
" return problem.value, x.value\n",
"\n",
"\n",
"def ziehe_wetter(anzahl, seed):\n",
" \"\"\"Mischverteilung: normales Wetter, mit P_KAELTEWELLE ein Einbruch.\"\"\"\n",
" rng = np.random.default_rng(seed)\n",
" a = rng.multivariate_normal(VERFUEGBAR, SIGMA, size=anzahl)\n",
" getroffen = rng.random(anzahl) < P_KAELTEWELLE\n",
" a[getroffen] *= EINBRUCH\n",
" return np.clip(a, 0.0, 1.0)\n",
"\n",
"\n",
"def sicherheit(x, a):\n",
" \"\"\"Anteil der Szenarien, in denen der Plan den Bedarf deckt.\"\"\"\n",
" return float(np.mean(a @ x >= BEDARF))\n",
"\n",
"\n",
"KOPF = (f\"{'Plan':<20} {'Kosten (EUR)':>13} {'Gas':>4} {'Wind':>4} \"\n",
" f\"{'Sol':>4} {'Bio':>4} {'Normalwelt':>11} {'echte Welt':>11}\")\n",
"\n",
"\n",
"def zeile(name, kosten, x, in_normal, in_echt):\n",
" mix = \" \".join(f\"{w:4.0f}\" for w in x)\n",
" return (f\"{name:<20} {kosten:>13,.0f} {mix} \"\n",
" f\"{in_normal * 100:>9.2f} % {in_echt * 100:>9.2f} %\")\n",
"\n",
"\n",
"if __name__ == \"__main__\":\n",
" print(\"=\" * 78)\n",
" print(\" WAHRSCHEINLICHKEITSBESCHRAENKUNGEN IM KRAFTWERKSPARK\")\n",
" print(\"=\" * 78)\n",
" print(f\"Gesichert bereitzustellen: {BEDARF:.0f} MW\\n\")\n",
" print(f\"{'Technologie':<14} {'EUR/MW':>8} {'verfuegbar':>11} {'Streuung':>9} \"\n",
" f\"{'Grenze':>8} {'EUR je erw. MW':>15}\")\n",
" print(\"-\" * 78)\n",
" for i, name in enumerate(TECHNIK):\n",
" print(f\"{name:<14} {KOSTEN[i]:>8,.0f} {VERFUEGBAR[i]:>10.2f} \"\n",
" f\"{STREUUNG[i]:>8.2f} {GRENZE[i]:>7.0f} \"\n",
" f\"{KOSTEN[i] / VERFUEGBAR[i]:>15,.0f}\")\n",
" print(f\"\\nVollausbau liefert im Mittel {VERFUEGBAR @ GRENZE:.0f} MW, \"\n",
" f\"in der Kaeltewelle {(VERFUEGBAR * EINBRUCH) @ GRENZE:.0f} MW.\")\n",
"\n",
" # Zwei grosse, unabhaengige Testmengen. An ihnen wird JEDER Plan gemessen -\n",
" # einmal in der unterstellten Normalwelt, einmal in der echten Verteilung.\n",
" echt = ziehe_wetter(200_000, seed=771)\n",
" normalwelt = np.random.default_rng(4711).multivariate_normal(\n",
" VERFUEGBAR, SIGMA, size=200_000)\n",
"\n",
" print(\"\\n\" + \"=\" * 78)\n",
" print(\" (1) Mittelwertplan und Chance Constraints im Vergleich\")\n",
" print(\"=\" * 78)\n",
" print(KOPF)\n",
" print(\"-\" * 78)\n",
"\n",
" k_mittel, x_mittel = mittelwertplan()\n",
" stufen = [(\"Mittelwert\", k_mittel, sicherheit(x_mittel, normalwelt))]\n",
" print(zeile(\"Mittelwert\", k_mittel, x_mittel,\n",
" sicherheit(x_mittel, normalwelt), sicherheit(x_mittel, echt)))\n",
"\n",
" plaene = {}\n",
" for alpha in (0.20, 0.10, 0.05, 0.01):\n",
" kosten, x = chance_constraint_analytisch(alpha)\n",
" plaene[alpha] = (kosten, x)\n",
" quote_normal = sicherheit(x, normalwelt)\n",
" stufen.append((f\"Zusage {(1 - alpha) * 100:.0f} %\", kosten, quote_normal))\n",
" print(zeile(f\"Zusage {(1 - alpha) * 100:.0f} %\", kosten, x,\n",
" quote_normal, sicherheit(x, echt)))\n",
"\n",
" print(\"\\n In der Normalwelt trifft jede Zusage ihren Wert - das Verfahren\")\n",
" print(\" rechnet richtig. Die Spalte 'echte Welt' kommt in Teil (3).\")\n",
"\n",
" print(\"\\n\" + \"=\" * 78)\n",
" print(\" (2) Was kostet ein Prozentpunkt Versorgungssicherheit?\")\n",
" print(\"=\" * 78)\n",
" print(f\"{'von -> nach':<26} {'Prozentpunkte':>13} {'Mehrkosten':>13} \"\n",
" f\"{'EUR je Punkt':>13}\")\n",
" print(\"-\" * 78)\n",
" for (n1, k1, q1), (n2, k2, q2) in zip(stufen, stufen[1:]):\n",
" d_punkte = (q2 - q1) * 100\n",
" d_kosten = k2 - k1\n",
" print(f\"{n1 + ' -> ' + n2:<26} {d_punkte:>13.2f} {d_kosten:>13,.0f} \"\n",
" f\"{d_kosten / d_punkte:>13,.0f}\")\n",
" erst = (stufen[1][1] - stufen[0][1]) / ((stufen[1][2] - stufen[0][2]) * 100)\n",
" letzt = (stufen[-1][1] - stufen[-2][1]) / ((stufen[-1][2] - stufen[-2][2]) * 100)\n",
" print(f\"\\n Der letzte Prozentpunkt kostet das {letzt / erst:.1f}-fache des ersten.\")\n",
" print(\" Sicherheit ist konvex bepreist - genau deshalb muss jemand\")\n",
" print(\" entscheiden, wie viel davon das Unternehmen kaufen will.\")\n",
"\n",
" print(\"\\n\" + \"=\" * 78)\n",
" print(\" (3) Und wenn die Verteilung nicht normal ist?\")\n",
" print(\"=\" * 78)\n",
" k_soc, x_soc = plaene[0.05]\n",
" print(f\"Die echte Welt kennt die Kaeltewelle mit Dunkelflaute: in \"\n",
" f\"{P_KAELTEWELLE * 100:.0f} % der Faelle liefern\")\n",
" print(f\"Wind {EINBRUCH[1] * 100:.0f} %, Sonne {EINBRUCH[2] * 100:.0f} % \"\n",
" f\"und - entscheidend - auch das Gaskraftwerk nur \"\n",
" f\"{EINBRUCH[0] * 100:.0f} %\")\n",
" print(\"des Ueblichen. Alles bricht gleichzeitig ein.\\n\")\n",
"\n",
" a_bau = ziehe_wetter(400, seed=20260908)\n",
" k_sz, x_sz = chance_constraint_szenarien(a_bau, 0.05)\n",
"\n",
" print(KOPF)\n",
" print(\"-\" * 78)\n",
" print(zeile(\"SOC, Zusage 95 %\", k_soc, x_soc,\n",
" sicherheit(x_soc, normalwelt), sicherheit(x_soc, echt)))\n",
" print(zeile(\"Szenarien, 95 %\", k_sz, x_sz,\n",
" sicherheit(x_sz, normalwelt), sicherheit(x_sz, echt)))\n",
"\n",
" print(f\"\\n Der SOC-Plan verspricht 95 % und haelt \"\n",
" f\"{sicherheit(x_soc, echt) * 100:.1f} %. Nicht das Verfahren ist\")\n",
" print(f\" falsch, sondern die Annahme: In der Normalwelt liefert derselbe\")\n",
" print(f\" Plan {sicherheit(x_soc, normalwelt) * 100:.1f} %.\")\n",
" print(f\"\\n Der Szenarioplan ({len(a_bau)} Szenarien, {len(a_bau)} \"\n",
" f\"Binaervariablen) kommt auf\")\n",
" print(f\" {sicherheit(x_sz, echt) * 100:.1f} % - und kostet dafuer \"\n",
" f\"{(k_sz / k_soc - 1) * 100:+.1f} %. Er kauft keine Windkraft mehr:\")\n",
" print(\" Was im Ernstfall ausfaellt, hilft der Zusage nicht.\")\n",
" print(\"=\" * 78)"
]
}
],
"metadata": {
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3",
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