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<!-- 2 -->
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<!-- 3 -->
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<g id="text_5">
<!-- 4 -->
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</g>
<g id="text_6">
<!-- 5 -->
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<g id="text_7">
<!-- 6 -->
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<g id="line2d_16">
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</g>
<g id="text_8">
<!-- 7 -->
<g transform="translate(424.712386 203.038437) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(424.712386 217.438437) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-37" d="M 525 4666
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@ -443,18 +443,18 @@ z
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<g id="line2d_17">
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L 478.622727 25.44
" clip-path="url(#pce73ba693e)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
" clip-path="url(#p3043647a47)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_18">
<g>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="478.622727" y="188.44" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="478.622727" y="202.84" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
</g>
<g id="text_9">
<!-- 8 -->
<g transform="translate(475.441477 203.038437) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(475.441477 217.438437) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-38" d="M 2034 2216
Q 1584 2216 1326 1975
@ -502,18 +502,18 @@ z
</g>
<g id="xtick_10">
<g id="line2d_19">
<path d="M 529.351818 188.44
<path d="M 529.351818 202.84
L 529.351818 25.44
" clip-path="url(#pce73ba693e)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
" clip-path="url(#p3043647a47)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_20">
<g>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="529.351818" y="188.44" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="529.351818" y="202.84" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
</g>
<g id="text_10">
<!-- 9 -->
<g transform="translate(526.170568 203.038437) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(526.170568 217.438437) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-39" d="M 703 97
L 703 672
@ -552,18 +552,18 @@ z
</g>
<g id="xtick_11">
<g id="line2d_21">
<path d="M 580.080909 188.44
<path d="M 580.080909 202.84
L 580.080909 25.44
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" clip-path="url(#p3043647a47)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_22">
<g>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="580.080909" y="188.44" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
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</g>
</g>
<g id="text_11">
<!-- 10 -->
<g transform="translate(573.718409 203.038437) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(573.718409 217.438437) scale(0.1 -0.1)">
<use xlink:href="#DejaVuSans-31"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-30" transform="translate(63.623047 0)"/>
</g>
@ -571,18 +571,18 @@ L 580.080909 25.44
</g>
<g id="xtick_12">
<g id="line2d_23">
<path d="M 630.81 188.44
<path d="M 630.81 202.84
L 630.81 25.44
" clip-path="url(#pce73ba693e)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
" clip-path="url(#p3043647a47)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_24">
<g>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="630.81" y="188.44" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="630.81" y="202.84" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
</g>
<g id="text_12">
<!-- 11 -->
<g transform="translate(624.4475 203.038437) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(624.4475 217.438437) scale(0.1 -0.1)">
<use xlink:href="#DejaVuSans-31"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-31" transform="translate(63.623047 0)"/>
</g>
@ -590,7 +590,7 @@ L 630.81 25.44
</g>
<g id="text_13">
<!-- Zeiteinheiten -->
<g transform="translate(318.475 216.716562) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(318.475 231.116562) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-5a" d="M 359 4666
L 4025 4666
@ -728,12 +728,12 @@ L -3.5 0
" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</defs>
<g>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="72.79" y="48.829483" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="72.79" y="50.895793" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
</g>
<g id="text_14">
<!-- Fraese -->
<g transform="translate(33.00875 52.628702) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(33.00875 54.695012) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-46" d="M 628 4666
L 3309 4666
@ -842,12 +842,12 @@ z
<g id="ytick_2">
<g id="line2d_26">
<g>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="72.79" y="106.94" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="72.79" y="114.14" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
</g>
<g id="text_15">
<!-- Dreherei -->
<g transform="translate(22.743125 110.739219) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(22.743125 117.939219) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-44" d="M 1259 4147
L 1259 519
@ -883,12 +883,12 @@ z
<g id="ytick_3">
<g id="line2d_27">
<g>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="72.79" y="165.050517" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="72.79" y="177.384207" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
</g>
<g id="text_16">
<!-- Lackiererei -->
<g transform="translate(11.013438 168.849736) scale(0.1 -0.1)">
<g transform="translate(11.013438 181.183426) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-4c" d="M 628 4666
L 1259 4666
@ -951,13 +951,29 @@ z
</g>
</g>
<g id="patch_11">
<path d="M 72.79 188.44
L 630.81 188.44
<path d="M 275.706364 96.747843
L 326.435455 96.747843
L 326.435455 131.532157
L 275.706364 131.532157
z
" clip-path="url(#p3043647a47)" style="fill: url(#h8ac0198506); stroke: #be123c; stroke-width: 1.2; stroke-linejoin: miter"/>
</g>
<g id="patch_12">
<path d="M 224.977273 159.99205
L 275.706364 159.99205
L 275.706364 194.776364
L 224.977273 194.776364
z
" clip-path="url(#p3043647a47)" style="fill: url(#h8ac0198506); stroke: #be123c; stroke-width: 1.2; stroke-linejoin: miter"/>
</g>
<g id="patch_13">
<path d="M 72.79 202.84
L 630.81 202.84
" style="fill: none; stroke: #000000; stroke-width: 0.8; stroke-linejoin: miter; stroke-linecap: square"/>
</g>
<g id="text_17">
<!-- A0 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(242.993381 51.588858) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(242.993381 53.655168) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-Bold-41" d="M 3419 850
L 1538 850
@ -1003,21 +1019,21 @@ z
</g>
<g id="text_18">
<!-- A0 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(369.816108 109.699375) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(369.816108 116.899375) scale(0.1 -0.1)">
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-41"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-30" transform="translate(77.392578 0)"/>
</g>
</g>
<g id="text_19">
<!-- A0 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(471.27429 167.809892) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(471.27429 180.143582) scale(0.1 -0.1)">
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-41"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-30" transform="translate(77.392578 0)"/>
</g>
</g>
<g id="text_20">
<!-- A1 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(116.170653 51.588858) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(116.170653 53.655168) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-Bold-31" d="M 750 831
L 1813 831
@ -1040,21 +1056,21 @@ z
</g>
<g id="text_21">
<!-- A1 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(192.26429 167.809892) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(192.26429 180.143582) scale(0.1 -0.1)">
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-41"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-31" transform="translate(77.392578 0)"/>
</g>
</g>
<g id="text_22">
<!-- A1 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(522.003381 109.699375) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(522.003381 116.899375) scale(0.1 -0.1)">
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-41"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-31" transform="translate(77.392578 0)"/>
</g>
</g>
<g id="text_23">
<!-- A2 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(166.899744 109.699375) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(166.899744 116.899375) scale(0.1 -0.1)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-Bold-32" d="M 1844 884
L 3897 884
@ -1085,14 +1101,14 @@ z
</g>
<g id="text_24">
<!-- A2 -->
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(344.451563 167.809892) scale(0.1 -0.1)">
<g style="fill: #ffffff" transform="translate(344.451563 180.143582) scale(0.1 -0.1)">
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-41"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-Bold-32" transform="translate(77.392578 0)"/>
</g>
</g>
<g id="text_25">
<!-- Job-Shop-Plan, Makespan = 11 -->
<g transform="translate(267.519375 19.44) scale(0.11 -0.11)">
<!-- Job-Shop-Plan: Makespan 11, untere Schranke 10 — schraffiert steht die Maschine still -->
<g transform="translate(114.118359 19.44) scale(0.11 -0.11)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-4a" d="M 628 4666
L 1259 4666
@ -1246,14 +1262,18 @@ L 603 0
L 603 4863
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-2c" d="M 750 794
<path id="DejaVuSans-3a" d="M 750 794
L 1409 794
L 1409 256
L 897 -744
L 494 -744
L 750 256
L 1409 0
L 750 0
L 750 794
z
M 750 3309
L 1409 3309
L 1409 2516
L 750 2516
L 750 3309
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-20" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-4d" d="M 628 4666
@ -1272,17 +1292,89 @@ L 628 0
L 628 4666
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-3d" d="M 678 2906
L 4684 2906
L 4684 2381
L 678 2381
L 678 2906
<path id="DejaVuSans-2c" d="M 750 794
L 1409 794
L 1409 256
L 897 -744
L 494 -744
L 750 256
L 750 794
z
M 678 1631
L 4684 1631
L 4684 1100
L 678 1100
L 678 1631
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-75" d="M 544 1381
L 544 3500
L 1119 3500
L 1119 1403
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Q 1506 409 1894 409
Q 2359 409 2629 706
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L 2900 3500
L 3475 3500
L 3475 0
L 2900 0
L 2900 538
Q 2691 219 2414 64
Q 2138 -91 1772 -91
Q 1169 -91 856 284
Q 544 659 544 1381
z
M 1991 3584
L 1991 3584
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-2014" d="M 313 1978
L 6088 1978
L 6088 1528
L 313 1528
L 313 1978
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-66" d="M 2375 4863
L 2375 4384
L 1825 4384
Q 1516 4384 1395 4259
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L 1275 3500
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L 2222 3053
L 1275 3053
L 1275 0
L 697 0
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L 147 3500
L 697 3500
L 697 3744
Q 697 4328 969 4595
Q 1241 4863 1831 4863
L 2375 4863
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-64" d="M 2906 2969
L 2906 4863
L 3481 4863
L 3481 0
L 2906 0
L 2906 525
Q 2725 213 2448 61
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Q 1150 -91 751 415
Q 353 922 353 1747
Q 353 2572 751 3078
Q 1150 3584 1784 3584
Q 2172 3584 2448 3432
Q 2725 3281 2906 2969
z
M 947 1747
Q 947 1113 1208 752
Q 1469 391 1925 391
Q 2381 391 2643 752
Q 2906 1113 2906 1747
Q 2906 2381 2643 2742
Q 2381 3103 1925 3103
Q 1469 3103 1208 2742
Q 947 2381 947 1747
z
" transform="scale(0.015625)"/>
</defs>
@ -1299,28 +1391,157 @@ z
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<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="278.92615" y="274.84" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -327,12 +337,12 @@ z
</g>
</g>
<g id="xtick_5">
<g id="line2d_10">
<g id="line2d_12">
<path d="M 340.373272 274.84
L 340.373272 25.44
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_11">
<g id="line2d_13">
<g>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="340.373272" y="274.84" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -349,12 +359,12 @@ L 340.373272 25.44
</g>
</g>
<g id="xtick_6">
<g id="line2d_12">
<g id="line2d_14">
<path d="M 401.820393 274.84
L 401.820393 25.44
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_13">
<g id="line2d_15">
<g>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="401.820393" y="274.84" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -371,12 +381,12 @@ L 401.820393 25.44
</g>
</g>
<g id="xtick_7">
<g id="line2d_14">
<g id="line2d_16">
<path d="M 463.267515 274.84
L 463.267515 25.44
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_15">
<g id="line2d_17">
<g>
<use xlink:href="#mf0a04b41f8" x="463.267515" y="274.84" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -728,12 +738,12 @@ z
</g>
<g id="matplotlib.axis_2">
<g id="ytick_1">
<g id="line2d_16">
<g id="line2d_18">
<path d="M 57.44 241.509453
L 489.351818 241.509453
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_17">
<g id="line2d_19">
<defs>
<path id="mc0b9ff744f" d="M 0 0
L -3.5 0
@ -781,12 +791,12 @@ z
</g>
</g>
<g id="ytick_2">
<g id="line2d_18">
<g id="line2d_20">
<path d="M 57.44 194.713318
L 489.351818 194.713318
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_19">
<g id="line2d_21">
<g>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="57.44" y="194.713318" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -802,12 +812,12 @@ L 489.351818 194.713318
</g>
</g>
<g id="ytick_3">
<g id="line2d_20">
<g id="line2d_22">
<path d="M 57.44 147.917184
L 489.351818 147.917184
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_21">
<g id="line2d_23">
<g>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="57.44" y="147.917184" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -823,12 +833,12 @@ L 489.351818 147.917184
</g>
</g>
<g id="ytick_4">
<g id="line2d_22">
<g id="line2d_24">
<path d="M 57.44 101.121049
L 489.351818 101.121049
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_23">
<g id="line2d_25">
<g>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="57.44" y="101.121049" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -844,12 +854,12 @@ L 489.351818 101.121049
</g>
</g>
<g id="ytick_5">
<g id="line2d_24">
<g id="line2d_26">
<path d="M 57.44 54.324914
L 489.351818 54.324914
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 0.8,1.32; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b0b0b0; stroke-opacity: 0.5; stroke-width: 0.8"/>
</g>
<g id="line2d_25">
<g id="line2d_27">
<g>
<use xlink:href="#mc0b9ff744f" x="57.44" y="54.324914" style="stroke: #000000; stroke-width: 0.8"/>
</g>
@ -1066,6 +1076,11 @@ z
</g>
</g>
</g>
<g id="line2d_28">
<path d="M 57.44 52.148669
L 407.383365 317.8
" clip-path="url(#pc5415b3683)" style="fill: none; stroke-dasharray: 1.6,2.64; stroke-dashoffset: 0; stroke: #b45309; stroke-width: 1.6"/>
</g>
<g id="patch_3">
<path d="M 57.44 274.84
L 57.44 25.44
@ -1406,7 +1421,7 @@ z
</g>
</g>
<g id="legend_1">
<g id="line2d_26">
<g id="line2d_29">
<path d="M 309.988068 35.91875
L 317.988068 35.91875
L 325.988068 35.91875
@ -1778,6 +1793,341 @@ z
</g>
</g>
</g>
<g id="text_29">
<!-- dieselbe Steigung, eine Stufe höher — -->
<g style="fill: #b45309" transform="translate(222.719845 134.109124) scale(0.075 -0.075)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-64" d="M 2906 2969
L 2906 4863
L 3481 4863
L 3481 0
L 2906 0
L 2906 525
Q 2725 213 2448 61
Q 2172 -91 1784 -91
Q 1150 -91 751 415
Q 353 922 353 1747
Q 353 2572 751 3078
Q 1150 3584 1784 3584
Q 2172 3584 2448 3432
Q 2725 3281 2906 2969
z
M 947 1747
Q 947 1113 1208 752
Q 1469 391 1925 391
Q 2381 391 2643 752
Q 2906 1113 2906 1747
Q 2906 2381 2643 2742
Q 2381 3103 1925 3103
Q 1469 3103 1208 2742
Q 947 2381 947 1747
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-53" d="M 3425 4513
L 3425 3897
Q 3066 4069 2747 4153
Q 2428 4238 2131 4238
Q 1616 4238 1336 4038
Q 1056 3838 1056 3469
Q 1056 3159 1242 3001
Q 1428 2844 1947 2747
L 2328 2669
Q 3034 2534 3370 2195
Q 3706 1856 3706 1288
Q 3706 609 3251 259
Q 2797 -91 1919 -91
Q 1588 -91 1214 -16
Q 841 59 441 206
L 441 856
Q 825 641 1194 531
Q 1563 422 1919 422
Q 2459 422 2753 634
Q 3047 847 3047 1241
Q 3047 1584 2836 1778
Q 2625 1972 2144 2069
L 1759 2144
Q 1053 2284 737 2584
Q 422 2884 422 3419
Q 422 4038 858 4394
Q 1294 4750 2059 4750
Q 2388 4750 2728 4690
Q 3069 4631 3425 4513
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-66" d="M 2375 4863
L 2375 4384
L 1825 4384
Q 1516 4384 1395 4259
Q 1275 4134 1275 3809
L 1275 3500
L 2222 3500
L 2222 3053
L 1275 3053
L 1275 0
L 697 0
L 697 3053
L 147 3053
L 147 3500
L 697 3500
L 697 3744
Q 697 4328 969 4595
Q 1241 4863 1831 4863
L 2375 4863
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-f6" d="M 1959 3097
Q 1497 3097 1228 2736
Q 959 2375 959 1747
Q 959 1119 1226 758
Q 1494 397 1959 397
Q 2419 397 2687 759
Q 2956 1122 2956 1747
Q 2956 2369 2687 2733
Q 2419 3097 1959 3097
z
M 1959 3584
Q 2709 3584 3137 3096
Q 3566 2609 3566 1747
Q 3566 888 3137 398
Q 2709 -91 1959 -91
Q 1206 -91 779 398
Q 353 888 353 1747
Q 353 2609 779 3096
Q 1206 3584 1959 3584
z
M 2253 4850
L 2888 4850
L 2888 4219
L 2253 4219
L 2253 4850
z
M 1031 4850
L 1666 4850
L 1666 4219
L 1031 4219
L 1031 4850
z
" transform="scale(0.015625)"/>
<path id="DejaVuSans-2014" d="M 313 1978
L 6088 1978
L 6088 1528
L 313 1528
L 313 1978
z
" transform="scale(0.015625)"/>
</defs>
<use xlink:href="#DejaVuSans-64"/>
<use xlink:href="#DejaVuSans-69" transform="translate(63.476562 0)"/>
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</g>
<!-- jede gewichtete Summe nimmt die untere -->
<g style="fill: #b45309" transform="translate(222.719845 142.507483) scale(0.075 -0.075)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-6a" d="M 603 3500
L 1178 3500
L 1178 -63
Q 1178 -731 923 -1031
Q 669 -1331 103 -1331
L -116 -1331
L -116 -844
L 38 -844
Q 366 -844 484 -692
Q 603 -541 603 -63
L 603 3500
z
M 603 4863
L 1178 4863
L 1178 4134
L 603 4134
L 603 4863
z
" transform="scale(0.015625)"/>
</defs>
<use xlink:href="#DejaVuSans-6a"/>
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<use xlink:href="#DejaVuSans-65" transform="translate(2055.171875 0)"/>
</g>
</g>
<g id="text_30">
<!-- ε-Constraint: CO₂ ≤ 5.912 kg -->
<g style="fill: #059669" transform="translate(63.44 182.109124) scale(0.075 -0.075)">
<defs>
<path id="DejaVuSans-3b5" d="M 1234 1888
Q 884 1963 697 2166
Q 509 2366 509 2656
Q 509 3097 866 3344
Q 1219 3588 1831 3588
Q 2069 3588 2334 3550
Q 2600 3513 2906 3438
L 2906 2916
Q 2603 3006 2353 3047
Q 2100 3088 1878 3088
Q 1506 3088 1291 2944
Q 1072 2800 1072 2600
Q 1072 2381 1284 2241
Q 1494 2103 1856 2103
L 2341 2103
L 2341 1628
L 1878 1628
Q 1450 1628 1225 1469
Q 981 1294 981 1019
Q 981 738 1244 563
Q 1509 388 1981 388
Q 2272 388 2538 444
Q 2803 503 3025 619
L 3025 84
Q 2744 -3 2481 -47
Q 2216 -91 1966 -91
Q 1222 -91 819 194
Q 416 478 416 1019
Q 416 1356 631 1584
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z
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M 678 531
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<!-- findet genau diesen Punkt -->
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13
OR_HTML_04/cvar.html generated
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@ -320,6 +320,11 @@ CVaR: Portfolio 101.33 vs. Summe 159.24 -&gt; subadditiv (kohaerent)
========================================================================================</code></pre>
<p><strong>Die 6-Sigma-Zeile setzt die Sache ins Verhältnis:</strong> Unter Normalverteilung wäre ein solcher Tag ein Ereignis von einmal in <strong>zwei Millionen Jahren</strong>. Unter der t-Verteilung mit drei Freiheitsgraden — die realen Aktienrenditen deutlich näher kommt — passiert er etwa alle <strong>zwei Jahre</strong>. Der Faktor beträgt fast <strong>eine Million</strong>.</p>
<p>Und Teil 2 zeigt das Grundproblem des VaR an einem Beispiel, das Sie von Hand nachrechnen können: Einzeln meldet er für jede Anleihe einen <em>Gewinn</em> von 2 €, im Portfolio einen <em>Verlust</em> von 98 €. Diversifikation hätte demnach das Risiko um 102 € erhöht. Der CVaR dagegen verhält sich korrekt: 101,33 € im Portfolio gegenüber 159,24 € bei getrennter Betrachtung — die Streuung <strong>senkt</strong> das Risiko, wie es sein muss.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_cvar_subadditivitaet.svg" alt="Abb. 20.1: Dieselbe Tabelle als Bild, gerechnet mit denselben Ziehungen wie VaR_CVaR_Demo.py. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_var_vs_cvar.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.1: Dieselbe Tabelle als Bild, gerechnet mit denselben Ziehungen wie <code>VaR_CVaR_Demo.py</code>. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_var_vs_cvar.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Links wechselt der Balken über null das Vorzeichen: Aus zwei gemeldeten Gewinnen wird im Portfolio ein Verlust. Rechts passiert nichts dergleichen — der Portfoliobalken ist kürzer als der Summenbalken, und genau das heißt Subadditivität. Der Grund für den Sprung links ist keine Rechenungenauigkeit, sondern die Bauart des Maßes: Eine Schwelle bei 95 % sieht ein Ereignis mit 4 % Wahrscheinlichkeit nicht — bis zwei davon zusammenkommen.</p>
<blockquote>
<p><strong>⚠️ Eine Falle bei der CVaR-Berechnung</strong> Der naheliegende Weg — „Mittelwert aller Verluste <span class="math inline">\ge</span> VaR“ — ist <strong>falsch</strong>, sobald die Verteilung <strong>Atome</strong> hat (also einzelne Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit, wie hier die zwei möglichen Ausgänge). Der VaR liegt dann selbst auf einem Atom, und der Vergleich <code>&gt;=</code> erfasst zu viel Wahrscheinlichkeitsmasse. Im Beispiel oben liefert dieser naive Schätzer für Anleihe A den Wert 2,08 statt der korrekten 79,59 — ein Fehler um Faktor 38.</p>
<p>Die Rockafellar-Uryasev-Formel behandelt Atome von sich aus korrekt. Verwenden Sie sie auch dann, wenn Sie „nur schnell“ einen CVaR ausrechnen wollen.</p>
@ -327,8 +332,8 @@ CVaR: Portfolio 101.33 vs. Summe 159.24 -&gt; subadditiv (kohaerent)
<hr />
<h2 id="sec:cvar-value-at-risk-und-conditional-value">20.4 Value at Risk und Conditional Value at Risk</h2>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_cvar_var_vergleich.svg" alt="Abb. 20.1: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (t-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_var_cvar.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.1: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (<span class="math inline">t</span>-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_var_cvar.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_cvar_var_vergleich.svg" alt="Abb. 20.2: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (t-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_var_cvar.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.2: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (<span class="math inline">t</span>-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_var_cvar.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Value at Risk (<span class="math inline">\text{VaR}_\alpha</span>):</strong> Der Verlust, der mit Wahrscheinlichkeit <span class="math inline">\alpha</span> nicht überschritten wird.</p>
<p><strong>Conditional Value at Risk (<span class="math inline">\text{CVaR}_\alpha</span>, auch <em>Expected Shortfall</em>):</strong> Der <strong>durchschnittliche Verlust in den schlimmsten <span class="math inline">(1-\alpha)</span> Prozent</strong> der Fälle.</p>
@ -456,8 +461,8 @@ CVaR: Portfolio 101.33 vs. Summe 159.24 -&gt; subadditiv (kohaerent)
= \lVert \mathbf{w}-\mathbf{w}_{\text{alt}}\rVert_1
</span></p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap13_cvar_zielfunktion.svg" alt="Abb. 20.2: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty" />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.2: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty</figcaption>
<img src="bilder_04/kap13_cvar_zielfunktion.svg" alt="Abb. 20.3: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty" />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.3: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty</figcaption>
</figure>
<blockquote>
<p><strong>📐 Formel-Lesehilfe</strong> Die <span class="math inline">L_1</span>-Norm ist die Summe der <strong>Beträge</strong>. Sie misst, wie viel Prozent des Portfolios insgesamt bewegt werden — Käufe und Verkäufe zusammen.</p>

9
OR_HTML_04/fundament.html generated
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@ -415,6 +415,11 @@ f(\theta\mathbf{x} + (1-\theta)\mathbf{y}) \le \theta f(\mathbf{x}) + (1-\theta)
<blockquote>
<p><strong>🎯 Merksatz</strong> Konvex heißt: Wer bergab geht, kommt am tiefsten Punkt an. Nicht-konvex heißt: Wer bergab geht, kommt <em>irgendwo</em> an — und weiß nicht, ob es der tiefste Punkt war.</p>
</blockquote>
<figure>
<img src="bilder_04/kap02_konvexitaet_landschaft.svg" alt="Abb. 2.3: Die Funktion f(x) = x^2 + 3\sin(3x), links eindimensional mit den fünf Startpunkten aus Konvexitaet_Demo.py, rechts als separable Fortsetzung f(x_1,x_2) = f(x_1) + f(x_2) — auf jeder Achse liegt genau die Kurve von links. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_3d_konvexitaet.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 2.3: Die Funktion <span class="math inline">f(x) = x^2 + 3\sin(3x)</span>, links eindimensional mit den fünf Startpunkten aus <code>Konvexitaet_Demo.py</code>, rechts als separable Fortsetzung <span class="math inline">f(x_1,x_2) = f(x_1) + f(x_2)</span> — auf jeder Achse liegt genau die Kurve von links. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_3d_konvexitaet.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Links sind es fünf Läufe desselben Verfahrens, die in vier verschiedenen Tälern enden — dieselben vier, die Teil 2 von <code>Konvexitaet_Demo.py</code> weiter unten auflistet. In zwei Dimensionen werden aus den Tälern Mulden in einem Gitter, und der Unterschied zwischen Start A und Start B beträgt hier bereits mehr als 24 Einheiten. Keiner der beiden Läufe hat etwas falsch gemacht: Beide enden dort, wo es nicht mehr bergab geht.</p>
<h3 id="was-ist-konvex-was-nicht">Was ist konvex, was nicht?</h3>
<table>
<colgroup>
@ -777,8 +782,8 @@ Preis der Ganzzahligkeit: 75.00 EUR (3.16 %)
<p><strong>Wenn meine Eingabedaten leicht ungenau sind — wie ungenau ist dann meine Lösung?</strong></p>
</blockquote>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_fundament_kondition.svg" alt="Abb. 2.3: Was \kappa(\mathbf{A}) praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — \kappa ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_kondition.py, gerechnet mit derselben Instanz wie Skalierung_Kondition.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 2.3: Was <span class="math inline">\kappa(\mathbf{A})</span> praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — <span class="math inline">\kappa</span> ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_kondition.py</code>, gerechnet mit derselben Instanz wie <code>Skalierung_Kondition.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_fundament_kondition.svg" alt="Abb. 2.4: Was \kappa(\mathbf{A}) praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — \kappa ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_kondition.py, gerechnet mit derselben Instanz wie Skalierung_Kondition.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 2.4: Was <span class="math inline">\kappa(\mathbf{A})</span> praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — <span class="math inline">\kappa</span> ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_kondition.py</code>, gerechnet mit derselben Instanz wie <code>Skalierung_Kondition.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p>Die Antwort trägt einen Namen: die <strong>Konditionszahl</strong> <span class="math inline">\kappa(\mathbf{A})</span>. Sie ist der wichtigste Begriff dieses Kapitels für den Produktivbetrieb, weil er erklärt, warum ein mathematisch korrektes Modell trotzdem unbrauchbare Ergebnisse liefern kann — oder sich mit einem sachlich falschen <code>INFEASIBLE</code> verabschiedet.</p>
<h3 id="die-geometrische-vorstellung-zwei-fast-parallele-linien">Die geometrische Vorstellung: zwei fast parallele Linien</h3>

67
OR_HTML_04/gesamtdokument.html generated
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@ -4767,6 +4767,11 @@ f(\theta\mathbf{x} + (1-\theta)\mathbf{y}) \le \theta f(\mathbf{x}) + (1-\theta)
<blockquote>
<p><strong>🎯 Merksatz</strong> Konvex heißt: Wer bergab geht, kommt am tiefsten Punkt an. Nicht-konvex heißt: Wer bergab geht, kommt <em>irgendwo</em> an — und weiß nicht, ob es der tiefste Punkt war.</p>
</blockquote>
<figure>
<img src="bilder_04/kap02_konvexitaet_landschaft.svg" alt="Abb. 2.3: Die Funktion f(x) = x^2 + 3\sin(3x), links eindimensional mit den fünf Startpunkten aus Konvexitaet_Demo.py, rechts als separable Fortsetzung f(x_1,x_2) = f(x_1) + f(x_2) — auf jeder Achse liegt genau die Kurve von links. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_3d_konvexitaet.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 2.3: Die Funktion <span class="math inline">f(x) = x^2 + 3\sin(3x)</span>, links eindimensional mit den fünf Startpunkten aus <code>Konvexitaet_Demo.py</code>, rechts als separable Fortsetzung <span class="math inline">f(x_1,x_2) = f(x_1) + f(x_2)</span> — auf jeder Achse liegt genau die Kurve von links. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_3d_konvexitaet.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Links sind es fünf Läufe desselben Verfahrens, die in vier verschiedenen Tälern enden — dieselben vier, die Teil 2 von <code>Konvexitaet_Demo.py</code> weiter unten auflistet. In zwei Dimensionen werden aus den Tälern Mulden in einem Gitter, und der Unterschied zwischen Start A und Start B beträgt hier bereits mehr als 24 Einheiten. Keiner der beiden Läufe hat etwas falsch gemacht: Beide enden dort, wo es nicht mehr bergab geht.</p>
<h3 id="was-ist-konvex-was-nicht">Was ist konvex, was nicht?</h3>
<table>
<colgroup>
@ -5129,8 +5134,8 @@ Preis der Ganzzahligkeit: 75.00 EUR (3.16 %)
<p><strong>Wenn meine Eingabedaten leicht ungenau sind — wie ungenau ist dann meine Lösung?</strong></p>
</blockquote>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_fundament_kondition.svg" alt="Abb. 2.3: Was \kappa(\mathbf{A}) praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — \kappa ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_kondition.py, gerechnet mit derselben Instanz wie Skalierung_Kondition.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 2.3: Was <span class="math inline">\kappa(\mathbf{A})</span> praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — <span class="math inline">\kappa</span> ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_kondition.py</code>, gerechnet mit derselben Instanz wie <code>Skalierung_Kondition.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_fundament_kondition.svg" alt="Abb. 2.4: Was \kappa(\mathbf{A}) praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — \kappa ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_kondition.py, gerechnet mit derselben Instanz wie Skalierung_Kondition.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 2.4: Was <span class="math inline">\kappa(\mathbf{A})</span> praktisch bedeutet. Links: Über zwölf Größenordnungen hinweg liegt die gemessene größte Fehlerverstärkung genau auf der theoretischen Schranke — <span class="math inline">\kappa</span> ist keine grobe Faustregel. Rechts: Was die Ruiz-Equilibrierung an einem Modell mit unverträglichen Einheiten ausrichtet. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_kondition.py</code>, gerechnet mit derselben Instanz wie <code>Skalierung_Kondition.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p>Die Antwort trägt einen Namen: die <strong>Konditionszahl</strong> <span class="math inline">\kappa(\mathbf{A})</span>. Sie ist der wichtigste Begriff dieses Kapitels für den Produktivbetrieb, weil er erklärt, warum ein mathematisch korrektes Modell trotzdem unbrauchbare Ergebnisse liefern kann — oder sich mit einem sachlich falschen <code>INFEASIBLE</code> verabschiedet.</p>
<h3 id="die-geometrische-vorstellung-zwei-fast-parallele-linien">Die geometrische Vorstellung: zwei fast parallele Linien</h3>
@ -8065,9 +8070,10 @@ Lesart C (weich): loesbar - 66,000 EUR Deckungsbeitrag, 1 Stammauftrag abgelehnt
<h2 id="sec:lp-der-simplex-algorithmus-schritt-fuer-schritt">5.4 Der Simplex-Algorithmus Schritt für Schritt</h2>
<p>Der von George Dantzig 1947 formulierte Simplex-Algorithmus nutzt den Fundamentalsatz aus <a href="#kap-fundament">Kapitel 2</a>: <strong>Das Optimum liegt in einer Ecke.</strong> Statt alle Ecken aufzuzählen, wandert er von Ecke zu Ecke — und zwar immer in Richtung Verbesserung.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_lp_simplex_ecken.svg" alt="Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_polyeder.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_lp_simplex_ecken.svg" alt="Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Punktiert die Niveaulinien der Zielfunktion, der Pfeil ihr Gradient \mathbf{c}. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Punktiert die Niveaulinien der Zielfunktion, der Pfeil ihr Gradient <span class="math inline">\mathbf{c}</span>. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_polyeder.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Durch jede besuchte Ecke läuft genau eine Niveaulinie — die Linien sind nicht gewählt, sondern die Zielwerte 0 €, 2.000 € und 2.375 € der drei Ecken. Der Simplex schiebt diese Linie in Richtung des Pfeils so weit hinaus, wie das Polyeder es zulässt. Dass er dabei an einer Ecke anhält und nicht mittendrin, ist keine Eigenheit des Verfahrens, sondern der Fundamentalsatz: Weiter geht es nur noch hinaus.</p>
<h3 id="der-ablauf">Der Ablauf</h3>
<ol type="1">
<li><strong>Initialisierung.</strong> Starte an einer bekannten Ecke — meist dem Ursprung <span class="math inline">\mathbf{x} = \mathbf{0}</span>, bei dem alle Schlupfvariablen ihre Kapazität aufnehmen: <span class="math inline">\mathbf{s} = \mathbf{b}</span>. Das ist zulässig, solange <span class="math inline">\mathbf{b} \ge \mathbf{0}</span>.</li>
@ -8551,6 +8557,11 @@ Optimum nach 2 Pivotschritten erreicht.
<p><strong>Satz.</strong> Besitzt das primale Problem eine endliche Optimallösung <span class="math inline">\mathbf{x}^*</span>, so besitzt auch das duale eine Optimallösung <span class="math inline">\mathbf{y}^*</span>, und die Zielwerte sind <strong>exakt gleich</strong>: <span class="math display">\mathbf{c}^\top\mathbf{x}^* = \mathbf{b}^\top\mathbf{y}^*</span></p>
</blockquote>
<p>Prüfen wir das an unserem Beispiel: <span class="math inline">\mathbf{b}^\top\mathbf{y}^* = 40 \cdot 12{,}5 + 60 \cdot 31{,}25 + 8 \cdot 0 = 500 + 1875 + 0 = 2375</span> ✓ — identisch mit <span class="math inline">Z^* = 2375</span>.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_lp_dualitaets_bruecke.svg" alt="Abb. 5.3: Beide Probleme geometrisch, gerechnet mit Dualitaet_Nachweis.py. Rechts ist die Ebene y_3 = 0 gezeichnet — zulässig, weil das Marktlimit x_1 \le 8 bei x_1^* = 7{,}5 nicht bindet und deshalb y_3^* = 0 gilt. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_dualitaets_bruecke.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.3: Beide Probleme geometrisch, gerechnet mit <code>Dualitaet_Nachweis.py</code>. Rechts ist die Ebene <span class="math inline">y_3 = 0</span> gezeichnet — zulässig, weil das Marktlimit <span class="math inline">x_1 \le 8</span> bei <span class="math inline">x_1^* = 7{,}5</span> nicht bindet und deshalb <span class="math inline">y_3^* = 0</span> gilt. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_dualitaets_bruecke.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Die beiden Tafeln haben nichts gemeinsam: verschiedene Achsen, verschiedene Einheiten, links ein geschlossenes Polyeder, rechts ein nach oben offener Bereich. Links wird maximiert, rechts minimiert. Und doch steht an beiden Optima dieselbe Zahl — 2.375 €. Genau das behauptet der Satz, und mehr ist an ihm nicht zu sehen.</p>
<p>Das lässt sich auch unabhängig von der Handrechnung nachweisen: Primal- und Dualproblem werden als <strong>zwei getrennte, voneinander unabhängige LPs</strong> aufgestellt und gelöst — wenn der starke Dualitätssatz stimmt, müssen beide denselben Zielwert liefern, ohne dass eines vom anderen „weiß“.</p>
<div class="sourceCode" id="cb52"><pre class="sourceCode python"><code class="sourceCode python"><span id="cb52-1"><a href="#cb52-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#!/usr/bin/env python3</span></span>
<span id="cb52-2"><a href="#cb52-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
@ -8939,8 +8950,8 @@ Pruefung: komplementaerer Schlupf fuer alle Ressourcen erfuellt.
<h2 id="sec:lp-entartung">5.9 Wann Schattenpreise lügen: Entartung und Toleranzen</h2>
<p>Der vorige Abschnitt hat gezeigt, wie wertvoll Schattenpreise sind. Dieser zeigt die zwei Fälle, in denen sie eine Entscheidung <strong>nicht</strong> tragen — und wie man beide erkennt, bevor jemand auf ihrer Grundlage eine Maschine kauft.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_lp_entartung.svg" alt="Abb. 5.3: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.3: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_lp_entartung.svg" alt="Abb. 5.4: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.4: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Jeder Wert innerhalb der farbigen Balken erfüllt die Optimalitätsbedingungen. Zwei Solver dürfen also verschiedene Schattenpreise melden und haben beide recht — die Frage „was ist eine Stunde wert?” hat hier schlicht keine eindeutige Antwort.</p>
<h3 id="fall-1-entartung">Fall 1: Entartung</h3>
@ -9676,6 +9687,11 @@ Loesung eine Nebenbedingung verletzt. &#39;Verlust&#39; = Abstand zum exakten Op
<li>oder die LP-Lösung bereits ganzzahlig ist (dann ist dieser Ast fertig).</li>
</ul></li>
</ol>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_milp_bnb_geometrie.svg" alt="Abb. 6.3: Was der erste Verzweigungsschritt des Suchbaums geometrisch bedeutet. Graue Punkte sind die 13 ganzzahligen zulässigen Punkte. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_bnb_geometrie.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.3: Was der erste Verzweigungsschritt des Suchbaums geometrisch bedeutet. Graue Punkte sind die 13 ganzzahligen zulässigen Punkte. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_bnb_geometrie.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Der rote Streifen ist genau das, was Phase 2 wegnimmt — und in ihm liegt kein einziger grauer Punkt. Deshalb ist Verzweigen verlustfrei. Weggenommen wird trotzdem etwas Wertvolles: das LP-Optimum (3; 1,5) selbst. Genau darum sinkt die Schranke von 21 auf 20,67, und genau dieses Sinken ist der Fortschritt, den der Suchbaum Knoten für Knoten protokolliert.</p>
<p>Zusätzlich fügen Solver <strong>Schnittebenen</strong> (<em>cutting planes</em>, z. B. Gomory-Cuts) hinzu: gültige Ungleichungen, die gebrochene Bereiche wegschneiden, ohne einen einzigen zulässigen ganzzahligen Punkt zu entfernen.</p>
<blockquote>
<p><strong>✏️ Handrechnung 6.2: Ein Suchbaum von Hand</strong></p>
@ -9690,8 +9706,8 @@ Loesung eine Nebenbedingung verletzt. &#39;Verlust&#39; = Abstand zum exakten Op
<h2 id="sec:milp-modellierungstricks-big-m-und-logische-bedingungen">6.5 Modellierungstricks: Big-M und logische Bedingungen</h2>
<p>Hier kommt das Handwerkszeug, das MILP so mächtig macht: Man übersetzt Geschäftsregeln in lineare Ungleichungen — mithilfe binärer Hilfsvariablen <span class="math inline">y \in \{0,1\}</span> und einer hinreichend großen Konstante <span class="math inline">M</span>.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_milp_big_m.svg" alt="Abb. 6.3: Dieselbe Bedingung x \le M\,y, zwei Zahlen für M. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor y ganzzahlig wird. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.3: Dieselbe Bedingung <span class="math inline">x \le M\,y</span>, zwei Zahlen für <span class="math inline">M</span>. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor <span class="math inline">y</span> ganzzahlig wird. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_milp_big_m.svg" alt="Abb. 6.4: Dieselbe Bedingung x \le M\,y, zwei Zahlen für M. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor y ganzzahlig wird. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.4: Dieselbe Bedingung <span class="math inline">x \le M\,y</span>, zwei Zahlen für <span class="math inline">M</span>. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor <span class="math inline">y</span> ganzzahlig wird. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Für <span class="math inline">y \in \{0,1\}</span> sind beide Modelle gleichwertig; die beiden blauen Punkte stimmen überein. Verschieden ist nur, was dazwischen erlaubt ist — und rechts genügt bereits <span class="math inline">y = 0{,}08</span>, um die volle Kapazität freizugeben.</p>
<h3 id="muster-1-fixkosten-aktivierungsschalter">Muster 1 — Fixkosten / Aktivierungsschalter</h3>
@ -11199,6 +11215,11 @@ Fr -&gt; Abel</code></pre>
<p>Aus <span class="math inline">4 \times 4 = 16</span> Kombinationen sind ohne jedes Ausprobieren <strong>9</strong> geworden. Bei tausenden verketteten Bedingungen wirkt dieser Effekt lawinenartig — das ist der Kern der Leistungsfähigkeit von CP.</p>
<p><strong>Und wenn ein Widerspruch auftritt?</strong> Dann lernt der SAT-Kern eine <strong>Sperrklausel</strong> (<em>nogood</em>): „Diese Kombination nie wieder probieren.“ Der Solver springt dann nicht nur einen Schritt zurück, sondern direkt zur Ursache des Konflikts (<em>non-chronological backtracking</em>).</p>
</blockquote>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_cpsat_propagation_ablauf.svg" alt="Abb. 7.2: Dieselbe Handrechnung als Bild: grün die Werte, die in der Domain bleiben, rot der Wert, den die jeweilige Runde streicht, grau die schon vorher gestrichenen. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_propagation_ablauf.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 7.2: Dieselbe Handrechnung als Bild: grün die Werte, die in der Domain bleiben, rot der Wert, den die jeweilige Runde streicht, grau die schon vorher gestrichenen. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_propagation_ablauf.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Jede Runde streicht genau <strong>einen</strong> Wert — und trotzdem sinkt die Zahl der Kombinationen von 16 auf 9, also um gut vierzig Prozent. Das ist der Hebel: Gestrichen wird nicht eine Kombination, sondern ein Wert, und mit ihm alle Kombinationen, in denen er vorkam.</p>
<div class="sourceCode" id="cb77"><pre class="sourceCode python"><code class="sourceCode python"><span id="cb77-1"><a href="#cb77-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#!/usr/bin/env python3</span></span>
<span id="cb77-2"><a href="#cb77-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
<span id="cb77-3"><a href="#cb77-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co"># Propagation_Demo.py</span></span>
@ -11839,11 +11860,12 @@ Untere Schranke (laengster Auftrag / hoechste Maschinenlast): 10
Erreichter Makespan: 11
==========================================================================</code></pre>
<figure>
<img src="bilder_04/kap06_jobshop_gantt.svg" alt="Abb. 7.2: Job-Shop-Plan als Gantt-Diagramm" />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 7.2: Job-Shop-Plan als Gantt-Diagramm</figcaption>
<img src="bilder_04/kap06_jobshop_gantt.svg" alt="Abb. 7.3: Derselbe Plan als Gantt-Diagramm. Schraffiert die beiden Stillstände zwischen zwei Arbeitsgängen, gestrichelt die untere Schranke. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_kap06_gantt.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 7.3: Derselbe Plan als Gantt-Diagramm. Schraffiert die beiden Stillstände zwischen zwei Arbeitsgängen, gestrichelt die untere Schranke. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_kap06_gantt.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><em>Eine interaktive Fassung dieser Grafik steht auf den Kapitelseiten der Website bereit.</em></p>
<p><strong>Lesen Sie das Gantt-Diagramm.</strong> Auftrag 1 kommt zuerst an die Fräse (0–2), Auftrag 0 muss warten und ist dort erst von 2 bis 5 an der Reihe. Auffällig ist die Lücke in der Dreherei bei Zeitpunkt 4: Die Maschine steht still, obwohl Auftrag 0 schon Arbeit hätte — er ist aber bis 5 noch an der Fräse. Dieses <strong>Warten ist unvermeidlich</strong>; es entsteht aus dem Zusammenspiel von Reihenfolge- und Maschinenbedingungen, nicht aus einer schlechten Planung.</p>
<p><strong>Lesen Sie das Gantt-Diagramm.</strong> Auftrag 1 kommt zuerst an die Fräse (0–2), Auftrag 0 muss warten und ist dort erst von 2 bis 5 an der Reihe. Auffällig sind die beiden schraffierten Lücken. Die in der Dreherei bei Zeitpunkt 4 ist die sprechendere: Die Maschine steht still, obwohl Auftrag 0 schon Arbeit hätte — er ist aber bis 5 noch an der Fräse. Dieses <strong>Warten ist unvermeidlich</strong>; es entsteht aus dem Zusammenspiel von Reihenfolge- und Maschinenbedingungen, nicht aus einer schlechten Planung.</p>
<p>Die gestrichelte Linie bei 10 sagt dasselbe von der anderen Seite. Sie ist die untere Schranke aus dem Programm, und sie stammt von der Dreherei: Deren drei Arbeitsgänge dauern zusammen 2 + 4 + 4 = 10 Zeiteinheiten, die sich nicht überlappen dürfen. Die Dreherei ist im Plan von 0 bis 11 belegt — also genau ihre 10 Einheiten Arbeit plus die eine schraffierte Einheit Stillstand. Der Plan ist somit nicht deshalb elf lang, weil schlecht geplant wurde, sondern weil die Engpassmaschine einmal warten muss. (Die zweite Lücke, in der Lackiererei, kostet nichts: Diese Maschine ist ohnehin nicht der Engpass.)</p>
<blockquote>
<p><strong>⚠️ Mehrere gleich gute Pläne — und was das für Ihre Tests bedeutet</strong></p>
<p>Der kürzeste Makespan beträgt 11, aber es gibt <strong>mehrere verschiedene Pläne</strong>, die ihn erreichen. Welchen CP-SAT findet, hängt normalerweise davon ab, welcher seiner parallelen Suchstränge zuerst fertig wird — dasselbe Programm liefert dann von Lauf zu Lauf einen anderen (gleich guten) Plan.</p>
@ -19878,12 +19900,13 @@ dem CO2-Preis, den das Unternehmen ohnehin ansetzt.
<h2 id="sec:mehrziel-luecke">14.6 Was die gewichtete Summe nicht sieht</h2>
<p>Die Front hat <strong>zehn</strong> Punkte. Ein Raster aus 1 401 Gewichten findet <strong>sechs</strong> davon. Vier Kompromisse sind für kein Gewicht erreichbar — und das ist keine Frage der Rasterweite.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_mehrziel_pareto.svg" alt="Abb. 14.1: Pareto-Front: Kosten gegen CO₂. Die gefüllten Punkte liegen auf der unteren konvexen Hülle und sind über Gewichte erreichbar; die vier offenen Kreise sind pareto-optimal, werden aber von keiner Geraden gestützt." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 14.1: Pareto-Front: Kosten gegen CO₂. Die gefüllten Punkte liegen auf der unteren konvexen Hülle und sind über Gewichte erreichbar; die vier offenen Kreise sind pareto-optimal, werden aber von keiner Geraden gestützt.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_mehrziel_pareto.svg" alt="Abb. 14.1: Pareto-Front: Kosten gegen CO₂. Die gefüllten Punkte liegen auf der unteren konvexen Hülle und sind über Gewichte erreichbar; die vier offenen Kreise sind pareto-optimal, werden aber von keiner Geraden gestützt. Die dünne Gerade ist eine solche Stützgerade, die punktierte die parallele Gerade durch den am weitesten abliegenden der vier Punkte. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_pareto_front.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 14.1: Pareto-Front: Kosten gegen CO₂. Die gefüllten Punkte liegen auf der unteren konvexen Hülle und sind über Gewichte erreichbar; die vier offenen Kreise sind pareto-optimal, werden aber von keiner Geraden gestützt. Die dünne Gerade ist eine solche Stützgerade, die punktierte die parallele Gerade durch den am weitesten abliegenden der vier Punkte. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_pareto_front.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><em>Eine interaktive Fassung dieser Grafik steht auf den Kapitelseiten der Website bereit.</em></p>
<p><strong>Warum es keine Frage des Rasters ist.</strong> „<span class="math inline">c(x) + w\,e(x)</span> minimieren” heißt geometrisch: eine Gerade der Steigung <span class="math inline">-1/w</span> von links unten an die Punktwolke schieben und schauen, welchen Punkt sie zuerst berührt. Eine Gerade berührt immer einen <strong>Eckpunkt der unteren konvexen Hülle</strong>. Punkte, die oberhalb der Hülle liegen, werden von keiner Geraden zuerst getroffen — für kein <span class="math inline">w</span>, bei beliebig feiner Abstufung.</p>
<p>Das Programm rechnet diese Hülle in <code>untere_huelle()</code> unabhängig aus und vergleicht: Genau die vier Punkte, die das Gewichtsraster verfehlt, liegen strikt oberhalb. Die Gegenprobe steht in der Ausgabe.</p>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Die beiden Geraden haben dieselbe Steigung, also dasselbe Gewicht <span class="math inline">w</span>. Die untere berührt die Hülle in zwei Ecken — eine von beiden meldet der Solver als Optimum. Die obere geht durch einen pareto-optimalen Punkt, der damit für dieses Gewicht chancenlos ist, und zwar nicht knapp: Er liegt eine ganze Stufe darüber. Verschieben Sie die Steigung, verschiebt sich die Berührung von einer Ecke zur nächsten — über den Punkt dazwischen springt sie hinweg. Die waagerechte Linie zeigt den Ausweg, um den es in <a href="#sec:mehrziel-epsilon">Abschnitt 14.7</a> geht: Eine Schranke für den CO₂-Ausstoß statt eines Gewichts findet genau diesen Punkt.</p>
<blockquote>
<p><strong>⚠️ Der Grund liegt in der Ganzzahligkeit</strong></p>
<p>Bei einem reinen LP ist der zulässige Bereich konvex, und die Pareto-Front liegt vollständig auf ihrer eigenen konvexen Hülle — dort findet die gewichtete Summe alles. Sobald Entscheidungen <strong>ganzzahlig</strong> werden (welcher Träger, welches Lager, welche Schicht), zerfällt der Bereich in einzelne Punkte, und zwischen ihnen entstehen Einbuchtungen.</p>
@ -24298,6 +24321,11 @@ CVaR: Portfolio 101.33 vs. Summe 159.24 -&gt; subadditiv (kohaerent)
========================================================================================</code></pre>
<p><strong>Die 6-Sigma-Zeile setzt die Sache ins Verhältnis:</strong> Unter Normalverteilung wäre ein solcher Tag ein Ereignis von einmal in <strong>zwei Millionen Jahren</strong>. Unter der t-Verteilung mit drei Freiheitsgraden — die realen Aktienrenditen deutlich näher kommt — passiert er etwa alle <strong>zwei Jahre</strong>. Der Faktor beträgt fast <strong>eine Million</strong>.</p>
<p>Und Teil 2 zeigt das Grundproblem des VaR an einem Beispiel, das Sie von Hand nachrechnen können: Einzeln meldet er für jede Anleihe einen <em>Gewinn</em> von 2 €, im Portfolio einen <em>Verlust</em> von 98 €. Diversifikation hätte demnach das Risiko um 102 € erhöht. Der CVaR dagegen verhält sich korrekt: 101,33 € im Portfolio gegenüber 159,24 € bei getrennter Betrachtung — die Streuung <strong>senkt</strong> das Risiko, wie es sein muss.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_cvar_subadditivitaet.svg" alt="Abb. 20.1: Dieselbe Tabelle als Bild, gerechnet mit denselben Ziehungen wie VaR_CVaR_Demo.py. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_var_vs_cvar.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.1: Dieselbe Tabelle als Bild, gerechnet mit denselben Ziehungen wie <code>VaR_CVaR_Demo.py</code>. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_var_vs_cvar.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Links wechselt der Balken über null das Vorzeichen: Aus zwei gemeldeten Gewinnen wird im Portfolio ein Verlust. Rechts passiert nichts dergleichen — der Portfoliobalken ist kürzer als der Summenbalken, und genau das heißt Subadditivität. Der Grund für den Sprung links ist keine Rechenungenauigkeit, sondern die Bauart des Maßes: Eine Schwelle bei 95 % sieht ein Ereignis mit 4 % Wahrscheinlichkeit nicht — bis zwei davon zusammenkommen.</p>
<blockquote>
<p><strong>⚠️ Eine Falle bei der CVaR-Berechnung</strong> Der naheliegende Weg — „Mittelwert aller Verluste <span class="math inline">\ge</span> VaR“ — ist <strong>falsch</strong>, sobald die Verteilung <strong>Atome</strong> hat (also einzelne Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit, wie hier die zwei möglichen Ausgänge). Der VaR liegt dann selbst auf einem Atom, und der Vergleich <code>&gt;=</code> erfasst zu viel Wahrscheinlichkeitsmasse. Im Beispiel oben liefert dieser naive Schätzer für Anleihe A den Wert 2,08 statt der korrekten 79,59 — ein Fehler um Faktor 38.</p>
<p>Die Rockafellar-Uryasev-Formel behandelt Atome von sich aus korrekt. Verwenden Sie sie auch dann, wenn Sie „nur schnell“ einen CVaR ausrechnen wollen.</p>
@ -24305,8 +24333,8 @@ CVaR: Portfolio 101.33 vs. Summe 159.24 -&gt; subadditiv (kohaerent)
<hr />
<h2 id="sec:cvar-value-at-risk-und-conditional-value">20.4 Value at Risk und Conditional Value at Risk</h2>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_cvar_var_vergleich.svg" alt="Abb. 20.1: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (t-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_var_cvar.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.1: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (<span class="math inline">t</span>-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_var_cvar.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_cvar_var_vergleich.svg" alt="Abb. 20.2: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (t-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_var_cvar.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.2: Der VaR ist eine Schwelle, der CVaR ein Mittelwert. 20 000 simulierte Tagesrenditen aus dem Fat-Tail-Modell dieses Kapitels (<span class="math inline">t</span>-Verteilung mit drei Freiheitsgraden). Der schraffierte Bereich sind die schlechtesten 5 % der Tage; der VaR markiert nur ihren Rand, der CVaR ihren Mittelwert. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_var_cvar.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Value at Risk (<span class="math inline">\text{VaR}_\alpha</span>):</strong> Der Verlust, der mit Wahrscheinlichkeit <span class="math inline">\alpha</span> nicht überschritten wird.</p>
<p><strong>Conditional Value at Risk (<span class="math inline">\text{CVaR}_\alpha</span>, auch <em>Expected Shortfall</em>):</strong> Der <strong>durchschnittliche Verlust in den schlimmsten <span class="math inline">(1-\alpha)</span> Prozent</strong> der Fälle.</p>
@ -24432,8 +24460,8 @@ CVaR: Portfolio 101.33 vs. Summe 159.24 -&gt; subadditiv (kohaerent)
= \lVert \mathbf{w}-\mathbf{w}_{\text{alt}}\rVert_1
</span></p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap13_cvar_zielfunktion.svg" alt="Abb. 20.2: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty" />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.2: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty</figcaption>
<img src="bilder_04/kap13_cvar_zielfunktion.svg" alt="Abb. 20.3: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty" />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 20.3: CVaR-Zielfunktion mit Reibungs-Penalty</figcaption>
</figure>
<blockquote>
<p><strong>📐 Formel-Lesehilfe</strong> Die <span class="math inline">L_1</span>-Norm ist die Summe der <strong>Beträge</strong>. Sie misst, wie viel Prozent des Portfolios insgesamt bewegt werden — Käufe und Verkäufe zusammen.</p>
@ -26611,8 +26639,8 @@ aus.
<hr />
<h2 id="sec:praxisfallen-architektur-einer-produktionsreifen-or-plattform">22.5 Architektur einer produktionsreifen OR-Plattform</h2>
<figure>
<img src="bilder_04/kap15_or_plattform.svg" alt="Abb. 22.2: Architektur einer produktionsreifen OR-Plattform" />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 22.2: Architektur einer produktionsreifen OR-Plattform</figcaption>
<img src="bilder_04/kap15_or_plattform.svg" alt="Abb. 22.2: Die Schichten dieses Abschnitts als Bild — erzeugt aus der Tabelle daneben, damit beide nicht auseinanderlaufen können. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_or_architektur.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 22.2: Die Schichten dieses Abschnitts als Bild — erzeugt <strong>aus</strong> der Tabelle daneben, damit beide nicht auseinanderlaufen können. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_or_architektur.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p>In einer professionellen Umgebung ist der Optimierer kein Skript, sondern ein <strong>versionierter, zustandsloser Dienst</strong>:</p>
<table>
@ -26661,6 +26689,7 @@ aus.
</tr>
</tbody>
</table>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Fünf der sechs Schichten bilden einen Weg: Daten gehen oben hinein und unten als Handlung wieder hinaus. Die sechste steht daneben, und das ist keine zeichnerische Verlegenheit — Monitoring und Audit-Trail sind keine Station, die man durchläuft, sondern eine Anforderung an jede. Wer sie als sechsten Kasten unten anhängt, baut sie am Ende auch so: als etwas, das man hinterher noch macht.</p>
<p><strong>Fünf Prinzipien, die sich in der Praxis bewährt haben:</strong></p>
<ol type="1">
<li><strong>Snapshot-Prinzip.</strong> Jeder Optimierungslauf arbeitet auf einem unveränderlichen Datenschnappschuss mit eigener ID. Nur so ist ein Ergebnis später reproduzierbar — und im Streitfall belegbar.</li>

14
OR_HTML_04/lp.html generated
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@ -250,9 +250,10 @@
<h2 id="sec:lp-der-simplex-algorithmus-schritt-fuer-schritt">5.4 Der Simplex-Algorithmus Schritt für Schritt</h2>
<p>Der von George Dantzig 1947 formulierte Simplex-Algorithmus nutzt den Fundamentalsatz aus <a href="fundament.html#kap-fundament">Kapitel 2</a>: <strong>Das Optimum liegt in einer Ecke.</strong> Statt alle Ecken aufzuzählen, wandert er von Ecke zu Ecke — und zwar immer in Richtung Verbesserung.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_lp_simplex_ecken.svg" alt="Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_polyeder.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_lp_simplex_ecken.svg" alt="Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Punktiert die Niveaulinien der Zielfunktion, der Pfeil ihr Gradient \mathbf{c}. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.1: Derselbe zulässige Bereich, aber der Weg der Handrechnung weiter unten: vom Ursprung über (0; 8) zum Optimum (7,5; 5). Drei der fünf Ecken werden besucht, keine zweimal — das ist der ganze Gewinn gegenüber dem Aufzählen aller Ecken. Punktiert die Niveaulinien der Zielfunktion, der Pfeil ihr Gradient <span class="math inline">\mathbf{c}</span>. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_polyeder.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Durch jede besuchte Ecke läuft genau eine Niveaulinie — die Linien sind nicht gewählt, sondern die Zielwerte 0 €, 2.000 € und 2.375 € der drei Ecken. Der Simplex schiebt diese Linie in Richtung des Pfeils so weit hinaus, wie das Polyeder es zulässt. Dass er dabei an einer Ecke anhält und nicht mittendrin, ist keine Eigenheit des Verfahrens, sondern der Fundamentalsatz: Weiter geht es nur noch hinaus.</p>
<h3 id="der-ablauf">Der Ablauf</h3>
<ol type="1">
<li><strong>Initialisierung.</strong> Starte an einer bekannten Ecke — meist dem Ursprung <span class="math inline">\mathbf{x} = \mathbf{0}</span>, bei dem alle Schlupfvariablen ihre Kapazität aufnehmen: <span class="math inline">\mathbf{s} = \mathbf{b}</span>. Das ist zulässig, solange <span class="math inline">\mathbf{b} \ge \mathbf{0}</span>.</li>
@ -736,6 +737,11 @@ Optimum nach 2 Pivotschritten erreicht.
<p><strong>Satz.</strong> Besitzt das primale Problem eine endliche Optimallösung <span class="math inline">\mathbf{x}^*</span>, so besitzt auch das duale eine Optimallösung <span class="math inline">\mathbf{y}^*</span>, und die Zielwerte sind <strong>exakt gleich</strong>: <span class="math display">\mathbf{c}^\top\mathbf{x}^* = \mathbf{b}^\top\mathbf{y}^*</span></p>
</blockquote>
<p>Prüfen wir das an unserem Beispiel: <span class="math inline">\mathbf{b}^\top\mathbf{y}^* = 40 \cdot 12{,}5 + 60 \cdot 31{,}25 + 8 \cdot 0 = 500 + 1875 + 0 = 2375</span> ✓ — identisch mit <span class="math inline">Z^* = 2375</span>.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_lp_dualitaets_bruecke.svg" alt="Abb. 5.3: Beide Probleme geometrisch, gerechnet mit Dualitaet_Nachweis.py. Rechts ist die Ebene y_3 = 0 gezeichnet — zulässig, weil das Marktlimit x_1 \le 8 bei x_1^* = 7{,}5 nicht bindet und deshalb y_3^* = 0 gilt. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_dualitaets_bruecke.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.3: Beide Probleme geometrisch, gerechnet mit <code>Dualitaet_Nachweis.py</code>. Rechts ist die Ebene <span class="math inline">y_3 = 0</span> gezeichnet — zulässig, weil das Marktlimit <span class="math inline">x_1 \le 8</span> bei <span class="math inline">x_1^* = 7{,}5</span> nicht bindet und deshalb <span class="math inline">y_3^* = 0</span> gilt. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_dualitaets_bruecke.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Die beiden Tafeln haben nichts gemeinsam: verschiedene Achsen, verschiedene Einheiten, links ein geschlossenes Polyeder, rechts ein nach oben offener Bereich. Links wird maximiert, rechts minimiert. Und doch steht an beiden Optima dieselbe Zahl — 2.375 €. Genau das behauptet der Satz, und mehr ist an ihm nicht zu sehen.</p>
<p>Das lässt sich auch unabhängig von der Handrechnung nachweisen: Primal- und Dualproblem werden als <strong>zwei getrennte, voneinander unabhängige LPs</strong> aufgestellt und gelöst — wenn der starke Dualitätssatz stimmt, müssen beide denselben Zielwert liefern, ohne dass eines vom anderen „weiß“.</p>
<div class="sourceCode" id="cb5"><pre class="sourceCode python"><code class="sourceCode python"><span id="cb5-1"><a href="#cb5-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#!/usr/bin/env python3</span></span>
<span id="cb5-2"><a href="#cb5-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a></span>
@ -1126,8 +1132,8 @@ Pruefung: komplementaerer Schlupf fuer alle Ressourcen erfuellt.
<h2 id="sec:lp-entartung">5.9 Wann Schattenpreise lügen: Entartung und Toleranzen</h2>
<p>Der vorige Abschnitt hat gezeigt, wie wertvoll Schattenpreise sind. Dieser zeigt die zwei Fälle, in denen sie eine Entscheidung <strong>nicht</strong> tragen — und wie man beide erkennt, bevor jemand auf ihrer Grundlage eine Maschine kauft.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_lp_entartung.svg" alt="Abb. 5.3: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.3: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_lp_entartung.svg" alt="Abb. 5.4: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 5.4: Links laufen drei Geraden durch dieselbe Ecke — eine mehr, als zwei Dimensionen brauchen. Rechts die Folge: Der Schattenpreis ist keine Zahl mehr, sondern eine Spanne. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_entartung_polyeder.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Jeder Wert innerhalb der farbigen Balken erfüllt die Optimalitätsbedingungen. Zwei Solver dürfen also verschiedene Schattenpreise melden und haben beide recht — die Frage „was ist eine Stunde wert?” hat hier schlicht keine eindeutige Antwort.</p>
<h3 id="fall-1-entartung">Fall 1: Entartung</h3>

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@ -382,6 +382,11 @@ Loesung eine Nebenbedingung verletzt. &#39;Verlust&#39; = Abstand zum exakten Op
<li>oder die LP-Lösung bereits ganzzahlig ist (dann ist dieser Ast fertig).</li>
</ul></li>
</ol>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_milp_bnb_geometrie.svg" alt="Abb. 6.3: Was der erste Verzweigungsschritt des Suchbaums geometrisch bedeutet. Graue Punkte sind die 13 ganzzahligen zulässigen Punkte. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_bnb_geometrie.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.3: Was der erste Verzweigungsschritt des Suchbaums geometrisch bedeutet. Graue Punkte sind die 13 ganzzahligen zulässigen Punkte. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_bnb_geometrie.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Der rote Streifen ist genau das, was Phase 2 wegnimmt — und in ihm liegt kein einziger grauer Punkt. Deshalb ist Verzweigen verlustfrei. Weggenommen wird trotzdem etwas Wertvolles: das LP-Optimum (3; 1,5) selbst. Genau darum sinkt die Schranke von 21 auf 20,67, und genau dieses Sinken ist der Fortschritt, den der Suchbaum Knoten für Knoten protokolliert.</p>
<p>Zusätzlich fügen Solver <strong>Schnittebenen</strong> (<em>cutting planes</em>, z. B. Gomory-Cuts) hinzu: gültige Ungleichungen, die gebrochene Bereiche wegschneiden, ohne einen einzigen zulässigen ganzzahligen Punkt zu entfernen.</p>
<blockquote>
<p><strong>✏️ Handrechnung 6.2: Ein Suchbaum von Hand</strong></p>
@ -396,8 +401,8 @@ Loesung eine Nebenbedingung verletzt. &#39;Verlust&#39; = Abstand zum exakten Op
<h2 id="sec:milp-modellierungstricks-big-m-und-logische-bedingungen">6.5 Modellierungstricks: Big-M und logische Bedingungen</h2>
<p>Hier kommt das Handwerkszeug, das MILP so mächtig macht: Man übersetzt Geschäftsregeln in lineare Ungleichungen — mithilfe binärer Hilfsvariablen <span class="math inline">y \in \{0,1\}</span> und einer hinreichend großen Konstante <span class="math inline">M</span>.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_milp_big_m.svg" alt="Abb. 6.3: Dieselbe Bedingung x \le M\,y, zwei Zahlen für M. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor y ganzzahlig wird. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.3: Dieselbe Bedingung <span class="math inline">x \le M\,y</span>, zwei Zahlen für <span class="math inline">M</span>. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor <span class="math inline">y</span> ganzzahlig wird. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_milp_big_m.svg" alt="Abb. 6.4: Dieselbe Bedingung x \le M\,y, zwei Zahlen für M. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor y ganzzahlig wird. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.4: Dieselbe Bedingung <span class="math inline">x \le M\,y</span>, zwei Zahlen für <span class="math inline">M</span>. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor <span class="math inline">y</span> ganzzahlig wird. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Für <span class="math inline">y \in \{0,1\}</span> sind beide Modelle gleichwertig; die beiden blauen Punkte stimmen überein. Verschieden ist nur, was dazwischen erlaubt ist — und rechts genügt bereits <span class="math inline">y = 0{,}08</span>, um die volle Kapazität freizugeben.</p>
<h3 id="muster-1-fixkosten-aktivierungsschalter">Muster 1 — Fixkosten / Aktivierungsschalter</h3>

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@ -923,8 +923,8 @@ aus.
<hr />
<h2 id="sec:praxisfallen-architektur-einer-produktionsreifen-or-plattform">22.5 Architektur einer produktionsreifen OR-Plattform</h2>
<figure>
<img src="bilder_04/kap15_or_plattform.svg" alt="Abb. 22.2: Architektur einer produktionsreifen OR-Plattform" />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 22.2: Architektur einer produktionsreifen OR-Plattform</figcaption>
<img src="bilder_04/kap15_or_plattform.svg" alt="Abb. 22.2: Die Schichten dieses Abschnitts als Bild — erzeugt aus der Tabelle daneben, damit beide nicht auseinanderlaufen können. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_or_architektur.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 22.2: Die Schichten dieses Abschnitts als Bild — erzeugt <strong>aus</strong> der Tabelle daneben, damit beide nicht auseinanderlaufen können. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_or_architektur.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p>In einer professionellen Umgebung ist der Optimierer kein Skript, sondern ein <strong>versionierter, zustandsloser Dienst</strong>:</p>
<table>
@ -973,6 +973,7 @@ aus.
</tr>
</tbody>
</table>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Fünf der sechs Schichten bilden einen Weg: Daten gehen oben hinein und unten als Handlung wieder hinaus. Die sechste steht daneben, und das ist keine zeichnerische Verlegenheit — Monitoring und Audit-Trail sind keine Station, die man durchläuft, sondern eine Anforderung an jede. Wer sie als sechsten Kasten unten anhängt, baut sie am Ende auch so: als etwas, das man hinterher noch macht.</p>
<p><strong>Fünf Prinzipien, die sich in der Praxis bewährt haben:</strong></p>
<ol type="1">
<li><strong>Snapshot-Prinzip.</strong> Jeder Optimierungslauf arbeitet auf einem unveränderlichen Datenschnappschuss mit eigener ID. Nur so ist ein Ergebnis später reproduzierbar — und im Streitfall belegbar.</li>