dschlueter/operations_research
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dschlueter 2026-09-09 07:37:07 +02:00
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@ -382,6 +382,11 @@ Loesung eine Nebenbedingung verletzt. 'Verlust' = Abstand zum exakten Op
<li>oder die LP-Lösung bereits ganzzahlig ist (dann ist dieser Ast fertig).</li>
</ul></li>
</ol>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_milp_bnb_geometrie.svg" alt="Abb. 6.3: Was der erste Verzweigungsschritt des Suchbaums geometrisch bedeutet. Graue Punkte sind die 13 ganzzahligen zulässigen Punkte. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_bnb_geometrie.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.3: Was der erste Verzweigungsschritt des Suchbaums geometrisch bedeutet. Graue Punkte sind die 13 ganzzahligen zulässigen Punkte. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_bnb_geometrie.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Der rote Streifen ist genau das, was Phase 2 wegnimmt — und in ihm liegt kein einziger grauer Punkt. Deshalb ist Verzweigen verlustfrei. Weggenommen wird trotzdem etwas Wertvolles: das LP-Optimum (3; 1,5) selbst. Genau darum sinkt die Schranke von 21 auf 20,67, und genau dieses Sinken ist der Fortschritt, den der Suchbaum Knoten für Knoten protokolliert.</p>
<p>Zusätzlich fügen Solver <strong>Schnittebenen</strong> (<em>cutting planes</em>, z. B. Gomory-Cuts) hinzu: gültige Ungleichungen, die gebrochene Bereiche wegschneiden, ohne einen einzigen zulässigen ganzzahligen Punkt zu entfernen.</p>
<blockquote>
<p><strong>✏️ Handrechnung 6.2: Ein Suchbaum von Hand</strong></p>
@ -396,8 +401,8 @@ Loesung eine Nebenbedingung verletzt. &#39;Verlust&#39; = Abstand zum exakten Op
<h2 id="sec:milp-modellierungstricks-big-m-und-logische-bedingungen">6.5 Modellierungstricks: Big-M und logische Bedingungen</h2>
<p>Hier kommt das Handwerkszeug, das MILP so mächtig macht: Man übersetzt Geschäftsregeln in lineare Ungleichungen — mithilfe binärer Hilfsvariablen <span class="math inline">y \in \{0,1\}</span> und einer hinreichend großen Konstante <span class="math inline">M</span>.</p>
<figure>
<img src="bilder_04/kap_milp_big_m.svg" alt="Abb. 6.3: Dieselbe Bedingung x \le M\,y, zwei Zahlen für M. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor y ganzzahlig wird. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.3: Dieselbe Bedingung <span class="math inline">x \le M\,y</span>, zwei Zahlen für <span class="math inline">M</span>. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor <span class="math inline">y</span> ganzzahlig wird. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py</code>.</figcaption>
<img src="bilder_04/kap_milp_big_m.svg" alt="Abb. 6.4: Dieselbe Bedingung x \le M\,y, zwei Zahlen für M. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor y ganzzahlig wird. Erzeugt von bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py." />
<figcaption aria-hidden="true">Abb. 6.4: Dieselbe Bedingung <span class="math inline">x \le M\,y</span>, zwei Zahlen für <span class="math inline">M</span>. Gezeigt ist die LP-Relaxation — also das, was der Solver sieht, bevor <span class="math inline">y</span> ganzzahlig wird. Erzeugt von <code>bilder_04/erzeuge_big_m_vergleich.py</code>.</figcaption>
</figure>
<p><strong>Was Sie in der Abbildung sehen.</strong> Für <span class="math inline">y \in \{0,1\}</span> sind beide Modelle gleichwertig; die beiden blauen Punkte stimmen überein. Verschieden ist nur, was dazwischen erlaubt ist — und rechts genügt bereits <span class="math inline">y = 0{,}08</span>, um die volle Kapazität freizugeben.</p>
<h3 id="muster-1-fixkosten-aktivierungsschalter">Muster 1 — Fixkosten / Aktivierungsschalter</h3>