Anhang E: Glossar und Literatur

Glossar

Almgren-Chriss-Modell — Standardmodell der optimalen Orderausführung. Es löst den Zielkonflikt zwischen Marktauswirkung bei schnellem Handeln und Volatilitätsrisiko bei langsamem Handeln. → Abschnitt 13.4
Alternativoptima — Mehrere Lösungen mit identischem Zielfunktionswert. Tritt auf, wenn die Zielfunktion parallel zu einer Kante des Polyeders verläuft oder die Matrix nur semidefinit ist. → Abschnitt 11.3

Bellman-Gleichung — Rekursionsgleichung der dynamischen Programmierung: Der Wert eines Zustands ist die Summe aus den unmittelbaren Kosten der besten Aktion und dem Wert des Folgezustands. → Abschnitt 13.3
Big-M-Methode — Modellierungstrick, der logische Bedingungen über eine hinreichend große Konstante M an eine Binärvariable koppelt. M sollte so klein wie möglich gewählt werden, da große Werte die Relaxation aufweichen und die Laufzeit verschlechtern. → Abschnitt 6.5
Binärvariable — Entscheidungsvariable mit Wertebereich \{0,1\}; sie schaltet Fixkosten, Kapazitäten oder logische Alternativen an und aus. → Abschnitt 1.6
Bipartites Matching — Zuordnung zwischen zwei disjunkten Mengen mit maximalem Nutzen oder minimalen Kosten; klassisch gelöst durch den Ungarischen Algorithmus. → Abschnitt 8.4
Branch-and-Bound — Exaktes Verfahren für ganzzahlige Probleme: Der Suchraum wird rekursiv zerlegt (Branching), Zweige werden verworfen, sobald ihre Relaxation schlechter ist als die beste bekannte Lösung (Bounding). → Abschnitt 6.4
Budgeted Uncertainty — Robustheitsansatz nach Bertsimas/Sim: Höchstens \Gamma von n Parametern nehmen gleichzeitig ihren ungünstigsten Wert an. → Abschnitt 12.6

Calmar Ratio — Jahresrendite geteilt durch den Betrag des maximalen Drawdowns. Ergänzt die Sharpe Ratio um die Verlustperspektive. → Abschnitt 21.5
Conditional Value at Risk (CVaR) — Erwarteter Verlust in den schlechtesten Szenarien jenseits des VaR. Kohärent, subadditiv und nach Rockafellar/Uryasev exakt als lineares Programm formulierbar. → Abschnitt 20.4
Conflict Learning — Technik moderner SAT-Solver, aus jedem Widerspruch eine Sperrklausel abzuleiten, damit dieselbe Sackgasse nicht erneut betreten wird. → Abschnitt 7.3
Constraint Programming (CP) — Paradigma, das nicht über Zielfunktionsgradienten, sondern über logische Verträglichkeit sucht: Constraints schränken Wertebereiche ein, bis eine zulässige Belegung gefunden ist. → Abschnitt 7.3
Constraint Propagation — Kernmechanismus von CP-Solvern: Aus einer Zuweisung werden unmögliche Werte anderer Variablen sofort entfernt, wodurch der Suchbaum schrumpft. → Abschnitt 7.3
CP-SAT — Constraint-Programming-Solver von OR-Tools, der ein Modell in boolesche Erfüllbarkeit übersetzt und mit Propagation, Conflict Learning und paralleler Suche löst. → Abschnitt 7.3
CVXPY — Modellierungssprache für konvexe Optimierung: schreibt das Problem in mathematiknaher Notation, prüft die Konvexität und reicht es an einen Solver weiter. → Abschnitt 3.4

Dualitätstheorie — Jedem Optimierungsproblem (Primal) steht ein Dualproblem gegenüber. Der starke Dualitätssatz besagt, dass beide im Optimum denselben Zielfunktionswert besitzen. → Abschnitt 5.6
Dynamische Programmierung (DP) — Lösungsprinzip für mehrstufige Entscheidungen: Das Problem wird in Zustände und Stufen zerlegt und rückwärts gelöst. → Abschnitt 13.3

Efficient Frontier — Kurve aller Portfolios, die zu gegebenem Risiko die höchste erwartete Rendite liefern. → Abschnitt 19.4
Entscheidungsvariable — Die vom Solver frei wählbare Größe eines Modells. Ihr Wertebereich (kontinuierlich, ganzzahlig, binär) bestimmt die Problemklasse. → Abschnitt 1.6
Error-Maximizer-Effekt — Eigenschaft der Mean-Variance-Optimierung, Schätzfehler zu verstärken statt auszugleichen: Sie sucht genau die Richtungen, deren Varianz am stärksten unterschätzt wurde. → Abschnitt 18.4
EVPI (Expected Value of Perfect Information) — Differenz zwischen den Kosten unter Unsicherheit und den Kosten bei perfektem Wissen; Obergrenze für den Wert jeder Prognoseverbesserung. → Abschnitt 12.5
Explainable OR — Nachvollziehbarmachung von Solver-Ergebnissen über Schattenpreise, aktive Restriktionen und Kostenzerlegung. → Abschnitt 22.3

Fat Tails — Verteilungsränder, die dicker auslaufen als bei der Normalverteilung: Extremereignisse sind deutlich häufiger, als das Normalmodell vorhersagt. → Abschnitt 20.3
Fluch der Dimensionalität — Exponentielles Wachstum des Zustandsraums mit jeder zusätzlichen Zustandsdimension; begrenzt die dynamische Programmierung. → Abschnitt 13.5
Fluch des Durchschnitts (Flaw of Averages) — Systematischer Fehler beim Planen mit Erwartungswerten statt mit Verteilungen; folgt aus der Jensenschen Ungleichung. → Abschnitt 12.3
Flusserhaltung — Bedingung, dass an jedem Knoten Abfluss minus Zufluss dem Saldo des Knotens entspricht — das Kirchhoff-Gesetz der Netzwerkoptimierung. → Abschnitt 8.3
Fundamentalsatz der linearen Optimierung — Das Optimum eines lösbaren LP wird stets in mindestens einer Ecke des zulässigen Polyeders angenommen. → Abschnitt 2.4

Gemischt-ganzzahlige Optimierung (MILP) — Lineares Modell mit mindestens einer ganzzahligen oder binären Variablen; NP-schwer. → Abschnitt 6.3
Global Minimum Variance Portfolio (GMV) — Portfolio kleinstmöglicher Varianz. Es benötigt keine Renditeprognose und ist deshalb robuster gegen Schätzfehler. → Abschnitt 19.4
Globale Constraints — Vorgefertigte Bausteine wie AllDifferent, NoOverlap oder Cumulative, die häufige Strukturen kompakt ausdrücken und spezialisierte Propagatoren besitzen. → Abschnitt 7.4

HiGHS — Offener Hochleistungs-Solver für LP, MILP und QP; Backend von scipy.optimize.linprog und CVXPY, direkt ansprechbar über highspy. → Abschnitt 3.4

Infeasibility — Zustand eines Modells ohne zulässige Lösung. In der Praxis über Schlupfvariablen mit hohem Strafgewicht aufzufangen. → Abschnitt 22.3
Intervallvariable — Variable mit Start, Dauer und Ende, die in CP-SAT eine Aktivität beschreibt und Überschneidungsverbote auf Ressourcen ermöglicht. → Abschnitt 7.4

Jensensche Ungleichung — Für konvexe Funktionen gilt \mathbb{E}[f(X)] \ge f(\mathbb{E}[X]); die formale Grundlage des Fluchs des Durchschnitts. → Abschnitt 12.3

Kanonische Standardform — Einheitliche Matrixschreibweise eines LP als \min \mathbf{c}^\top\mathbf{x} u. d. N. \mathbf{A}\mathbf{x} \le \mathbf{b}, \mathbf{x} \ge 0. → Abschnitt 2.3
Kardinalitätsbeschränkung — Obergrenze für die Anzahl gleichzeitig aktiver Entscheidungen; über die Summe der zugehörigen Binärvariablen formuliert. → Abschnitt 6.5
Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen (KKT) — Notwendige Optimalitätsbedingungen restringierter Probleme: Stationarität, primale und duale Zulässigkeit sowie komplementärer Schlupf. Bei konvexen Problemen zugleich hinreichend. → Abschnitt 11.4
Kohärentes Risikomaß — Risikomaß mit den Eigenschaften Monotonie, Subadditivität, positive Homogenität und Translationsinvarianz. Der CVaR erfüllt sie, der VaR nicht. → Abschnitt 20.4
Kombinatorische Explosion — Überproportionales Wachstum des Lösungsraums mit der Problemgröße. → Abschnitt 1.4
Komplementärer Schlupf — Bedingung s_i \cdot y_i = 0: Eine Nebenbedingung ist entweder aktiv oder ihr Multiplikator verschwindet. → Abschnitt 5.6
Konditionszahl — Verhältnis von größtem zu kleinstem Eigenwert; misst, wie stark sich kleine Datenänderungen auf die Inverse auswirken. → Abschnitt 18.6
Konvexität — Eigenschaft, bei der jede Verbindungsstrecke zweier Punkte innerhalb der Menge bzw. unterhalb des Funktionsgraphen liegt. Bei konvexen Problemen ist jedes lokale Optimum global. → Abschnitt 2.5
Korn-Transformation — Umformung der nicht-konvexen Sharpe-Ratio-Maximierung in ein konvexes QP durch Homogenisierung. → Abschnitt 19.4
Kovarianzmatrix — Matrix der paarweisen Kovarianzen. Steuert im Markowitz-Modell den Diversifikationseffekt; bei vielen Titeln und wenigen Beobachtungen notorisch schlecht konditioniert. → Abschnitt 18.4

Lagrange-Multiplikator — Gewicht, mit dem eine Nebenbedingung in die Lagrange-Funktion eingeht; sein Optimalwert entspricht dem Schattenpreis. → Abschnitt 11.4
Ledoit-Wolf-Shrinkage — Schrumpfung der Stichprobenkovarianz in Richtung eines strukturierten Ziels; der optimale Faktor wird analytisch bestimmt. scikit-learn verwendet die skalierte Einheitsmatrix als Ziel. → Abschnitt 18.5
Lineare Programmierung (LP) — Optimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen mit kontinuierlichen Variablen. → Abschnitt 5.3
Logarithmische Rendite — Stetige Rendite als Logarithmus des Preisverhältnisses; über die Zeit additiv. → Abschnitt 18.3
Lookahead-Bias — Fehler, bei dem Informationen einfließen, die zum Entscheidungszeitpunkt nicht vorlagen. → Abschnitt 21.6

Market Impact — Preisverschlechterung, die eine eigene Order durch ihr Volumen auslöst; wächst überproportional mit der Handelsgeschwindigkeit. → Abschnitt 13.4
Maximum Drawdown — Größter prozentualer Rückgang vom bisherigen Höchststand. → Abschnitt 21.5
Min-Cost-Flow-Problem (MCNFP) — Kostengünstigster Transport durch ein Netzwerk unter Kapazitäts- und Flusserhaltungsbedingungen; total unimodular, daher ganzzahlige LP-Lösungen. → Abschnitt 8.3
MIP-Gap — Relativer Abstand zwischen bester gefundener Lösung und bester bekannter Schranke. → Abschnitt 22.3
Moderne Portfoliotheorie (Markowitz) — Rahmenwerk, das ein Portfolio über das Zusammenspiel von erwarteter Rendite und Kovarianz bewertet. → Abschnitt 19.4
Monte-Carlo-Simulation — Erzeugung vieler Zufallsszenarien, um Kennzahlen empirisch zu schätzen. Bewertet, optimiert aber nicht. → Abschnitt 12.4
MTZ-Formulierung — Miller-Tucker-Zemlin-Bedingungen, die über Rangvariablen Kurzzyklen ausschließen. → Abschnitt 8.5

Nebenbedingung (Constraint) — Gleichung oder Ungleichung, die zulässige von unzulässigen Lösungen trennt. Harte müssen erfüllt sein, weiche werden über Strafterme lediglich bestraft. → Abschnitt 1.6
Nichtlineare Programmierung (NLP) — Problemklasse mit nichtlinearer Ziel- oder Nebenbedingungsfunktion. Ohne Konvexität liefern Verfahren wie SLSQP nur lokale Optima. → Abschnitt 11.5

Operations Research (OR) — Disziplin, die reale Entscheidungsprobleme in mathematische Modelle überführt und mit exakten oder heuristischen Algorithmen löst. → Abschnitt 1.3
Optimalitätsprinzip — Grundsatz von Bellman: Jede Teilpolitik einer optimalen Politik ist ihrerseits optimal für den erreichten Zustand. → Abschnitt 13.3

Pivotisierung — Basiswechsel im Simplex-Verfahren. → Abschnitt 5.4
Polyeder — Schnittmenge endlich vieler Halbräume; die geometrische Gestalt des zulässigen Bereichs eines LP. → Abschnitt 2.4
Positiv (semi-)definit — Eigenschaft einer symmetrischen Matrix, deren Eigenwerte alle > 0 (definit) bzw. \ge 0 (semidefinit) sind. Definit ⟹ streng konvex, eindeutige Lösung; semidefinit ⟹ konvex, evtl. mehrere Lösungen. → Abschnitt 11.3
Präskriptive Analytik — Analysestufe, die vorschreibt, welche Handlung unter den gegebenen Bedingungen die beste ist. → Abschnitt 1.3

Quadratische Programmierung (QP) — Optimierung einer quadratischen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen. → Abschnitt 11.3

Rebalancing — Periodische Rückführung des Portfolios auf die Zielgewichte. → Abschnitt 21.4
Regime-Shift — Strukturbruch in den Daten, nach dem historisch geschätzte Momente ihre Gültigkeit verlieren. → Abschnitt 22.3
Relaxation — Absichtliches Weglassen einschränkender Forderungen — typischerweise der Ganzzahligkeit —, um eine schnell berechenbare Schranke zu gewinnen. → Abschnitt 6.4
Robuste Optimierung — Auslegung auf den ungünstigsten Fall innerhalb einer Unsicherheitsmenge; verlangt keine Wahrscheinlichkeiten. → Abschnitt 12.6
Rockafellar-Uryasev-Theorem — Ergebnis, das die CVaR-Minimierung in eine konvexe Hilfsfunktion überführt und die Optimierung des Tail-Risikos mit linearen Solvern erlaubt. → Abschnitt 20.4

Schattenpreis — Optimalwert einer Dualvariablen: Um wie viel ändert sich der Zielwert, wenn die zugehörige Ressource um eine Einheit erweitert wird. → Abschnitt 5.6
Schätzfehler — Abweichung geschätzter Momente von den wahren Werten. → Abschnitt 18.4
Schlupfvariable — Nichtnegative Hilfsvariable, die eine Ungleichung in eine Gleichung überführt; ihr Wert zeigt die ungenutzte Reserve. → Abschnitt 5.3
Schnittebenenverfahren (Cutting Planes) — Zusätzliche gültige Ungleichungen, die gebrochene LP-Lösungen abschneiden, ohne ganzzahlige Punkte zu verlieren. → Abschnitt 6.4
Sensitivitätsanalyse — Untersuchung, in welchem Bereich sich Koeffizienten und Kapazitäten ändern dürfen, ohne die Struktur der Optimallösung zu verändern. → Abschnitt 5.8
Sharpe Ratio — Überrendite über den risikofreien Zins je Einheit Volatilität. → Abschnitt 19.4
Simplex-Algorithmus — Verfahren von Dantzig, das von Ecke zu Ecke wandert und dabei den Zielfunktionswert monoton verbessert. → Abschnitt 5.4
SLSQP — Sequential Least Squares Programming; gradientenbasiertes Verfahren in scipy.optimize.minimize für nichtlineare Probleme. → Abschnitt 11.5
Subadditivität — Eigenschaft \rho(A+B) \le \rho(A)+\rho(B): Diversifikation darf das Risiko nicht erhöhen. Der VaR verletzt sie. → Abschnitt 20.4
Survivorship-Bias — Verzerrung durch Auswahl nur der heute noch existierenden Titel. → Abschnitt 21.6
Symmetriebrechung — Zusätzliche Ordnungsbedingungen, die verhindern, dass der Solver gleichwertige Vertauschungen mehrfach durchsucht. → Anhang B, Muster B20

Totale Unimodularität — Eigenschaft einer Matrix, bei der jede quadratische Teilmatrix die Determinante 0, +1 oder -1 hat. Folge: Alle Ecken des Polyeders sind ganzzahlig — Ganzzahligkeit muss nicht gefordert werden. → Abschnitt 8.4
Transaktionskosten — Beim Umschichten anfallende Kosten aus Gebühren, Spread und Market Impact; über eine L_1-Strafe modellierbar. → Abschnitt 20.5
Turnover — Summe der absoluten Gewichtsänderungen einer Umschichtung. → Abschnitt 20.5

Unsicherheitsmenge — Vorab definierter Bereich möglicher Parameterwerte, gegen dessen ungünstigstes Element eine robuste Lösung abgesichert wird. → Abschnitt 12.6

Value at Risk (VaR) — Verlustschwelle, die mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. Sagt nichts über die Verlusthöhe dahinter und ist nicht subadditiv. → Abschnitt 20.4
Vehicle Routing Problem (VRP) — Verallgemeinerung des TSP auf mehrere Fahrzeuge mit Depot, Kapazitäten und — in der Variante VRPTW — Zeitfenstern. → Abschnitt 8.5
Volatilität — Standardabweichung der Renditen, üblicherweise auf ein Jahr skaliert. → Abschnitt 18.3

Walk-Forward-Backtest — Rollierende Auswertung, bei der Parameter stets nur auf Vergangenheitsdaten geschätzt und auf dem folgenden Zeitraum getestet werden. → Abschnitt 21.5
Wurzel-Zeit-Regel — Skalierung der Volatilität mit \sqrt{T}. Gilt streng nur für Standardabweichungen unabhängiger Größen ohne Drift — für VaR/CVaR nur als grobe Näherung. → Abschnitt 20.6

Zielfunktion — Der zu minimierende oder maximierende Ausdruck, der die Entscheidungsvariablen zu einer einzigen Bewertungszahl verdichtet. → Abschnitt 1.6
Zulässiger Bereich (Feasible Region) — Menge aller Punkte, die sämtliche Nebenbedingungen gleichzeitig erfüllen. → Abschnitt 2.4

Literaturverzeichnis

Mathematische Optimierung — Grundlagen

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Dantzig, G. B. (1963): Linear Programming and Extensions. Princeton University Press. Das historische Originalwerk des Erfinders des Simplex-Algorithmus.
Wolsey, L. A. (2020): Integer Programming (2. Aufl.). Wiley, Hoboken. Branch-and-Bound, Branch-and-Cut, Polyedertheorie, Formulierungsstärke.
Hillier, F. S. & Lieberman, G. J. (2021): Introduction to Operations Research (11. Aufl.). McGraw-Hill. Breite Einführung inkl. Warteschlangen, DP und Entscheidungsmodellen.

Konvexe, nichtlineare und robuste Optimierung

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Ben-Tal, A., El Ghaoui, L. & Nemirovski, A. (2009): Robust Optimization. Princeton University Press.
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Constraint Programming und Scheduling

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Quantitative Finanzmathematik

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López de Prado, M. (2018): Advances in Financial Machine Learning. Wiley. Backtest-Overfitting, Deflated Sharpe Ratio, Denoising.
Cornuéjols, G., Peña, J. & Tütüncü, R. (2018): Optimization Methods in Finance (2. Aufl.). Cambridge University Press.

Software und Dokumentation

Google OR-Tools — developers.google.com/optimization · Quellcode: github.com/google/or-tools
Diamond, S. & Boyd, S. (2016): CVXPY: A Python-embedded modeling language for convex optimization. In: Journal of Machine Learning Research 17(83), S. 1–5. · www.cvxpy.org
Huangfu, Q. & Hall, J. A. J. (2018): Parallelizing the dual revised simplex method. In: Mathematical Programming Computation 10(1), S. 119–142. · highs.dev
SciPy — docs.scipy.org/doc/scipy/reference/optimize.html
scikit-learn, Covariance Estimation — scikit-learn.org/stable/modules/covariance.html

Verbände und Normen

INFORMS — www.informs.org
GOR (Gesellschaft für Operations Research e. V.) — deutschsprachiger Fachverband.
Basel Committee on Banking Supervision: Minimum capital requirements for market risk (Basel III, FRTB) — Grundlage der Umstellung von VaR auf Expected Shortfall.
Europäische Union: MiFID II / ESMA-Leitlinien zum algorithmischen Handel.